Bai hinh hay
Chia sẻ bởi Nguyễn Khánh Ninh |
Ngày 18/10/2018 |
36
Chia sẻ tài liệu: bai hinh hay thuộc Hình học 9
Nội dung tài liệu:
Bài toán : tam giác ABC có 3 góc nhọn AB Bài giải
Gỉa sứ AI cắt (O) tại D và cắt BC tại E .Ta đi chứng tỏ : 3 điểm D,P,Q thẳng hàng
Qua D dựng đường thẳng vuông góc với AD cắt AH tại M và cắt BC tại N.
Dễ thấy AD là phân giác của góc BAC => cung BD = cung CD => gócBCD = góc CAD ( góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau ) . Mặt khác , dễ thấy góc ICB = góc ACI ( I là tâm đường tròn nội tiếp ) .Mà ta có : góc ICD = góc BCD + góc ICB và góc DIC = góc DIC = góc CAD + góc ACI => góc DIC = góc DCI => tam giác DIC cân tại D => DI =CI . Mặt khác , xét 2 tam giác DCE và tam giác DAC , ta có :
ADC là góc chung , góc DAC = góc BCD => 2 tam giác DCE ~ tam giác DAC ( g-g) =>DC/DA = DE/ DC => DC2 = DE.DA . Mặt khác trong tam giác AND dễ thấy AD và NH là 2 đường cao của tam giác AMN mà chúng cắt nhau tại H nên E là trực tâm của tam giác AMN => ME vuông góc với AN => gócEMD = góc DAN ( cùng phụ với góc AND ) .Xét 2 tam giác DME và tam giác DAN ,ta có : góc EDM = góc AND = 90 , góc EMD = góc DAN => 2 tam giác DME ~ tam giác DAN ( g-g ) => DM/DE = DA/DN => DM.DN = DA.DE mà DA.DE = DC2=DI2 => DI2 = DM.DN = > DM/DI = DI/DN .Xét tam giác MDI và tam giác IDN , ta có : góc MDI = góc NDI = 90 , DM/DI = DI/DN => tam giác MDI ~ tam giác IDN ( c-g-c) => góc IMD = góc NID . Mà trong tam giác vuông MID ta có : gócIMD + gócDIM = 90 => gócMIN = góc DIM + góc NID = góc DIM + góc IMD = 90 => IM vuông góc với IN .Xét tứ giác MHIN ta có : góc NHM= góc MIN= 90 => Tứ giác MHIN nội tiếp => góc AHI = góc MNI .Xét tứ giác IQHP ta có : IP vuông góc với BC , IQ vuông góc với AH , AH vuông góc với PH do đó tứ giác IQHP là hình chữ nhật => góc AHI = góc QPI mặc khác ta có góc AHI = góc INM => QPI = góc INM .Xét tứ giác IPDN ta có : gócIDN = gócIPN = 90 => Tứ giác IPDN nội tiếp => góc INM + góc IPD = 180 do đó gócQPD = góc QPI + gócIPD = góc INM + góc IPD = 180 =>3 điểm Q,P,D thẳng hàng
Gỉa sứ AI cắt (O) tại D và cắt BC tại E .Ta đi chứng tỏ : 3 điểm D,P,Q thẳng hàng
Qua D dựng đường thẳng vuông góc với AD cắt AH tại M và cắt BC tại N.
Dễ thấy AD là phân giác của góc BAC => cung BD = cung CD => gócBCD = góc CAD ( góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau ) . Mặt khác , dễ thấy góc ICB = góc ACI ( I là tâm đường tròn nội tiếp ) .Mà ta có : góc ICD = góc BCD + góc ICB và góc DIC = góc DIC = góc CAD + góc ACI => góc DIC = góc DCI => tam giác DIC cân tại D => DI =CI . Mặt khác , xét 2 tam giác DCE và tam giác DAC , ta có :
ADC là góc chung , góc DAC = góc BCD => 2 tam giác DCE ~ tam giác DAC ( g-g) =>DC/DA = DE/ DC => DC2 = DE.DA . Mặt khác trong tam giác AND dễ thấy AD và NH là 2 đường cao của tam giác AMN mà chúng cắt nhau tại H nên E là trực tâm của tam giác AMN => ME vuông góc với AN => gócEMD = góc DAN ( cùng phụ với góc AND ) .Xét 2 tam giác DME và tam giác DAN ,ta có : góc EDM = góc AND = 90 , góc EMD = góc DAN => 2 tam giác DME ~ tam giác DAN ( g-g ) => DM/DE = DA/DN => DM.DN = DA.DE mà DA.DE = DC2=DI2 => DI2 = DM.DN = > DM/DI = DI/DN .Xét tam giác MDI và tam giác IDN , ta có : góc MDI = góc NDI = 90 , DM/DI = DI/DN => tam giác MDI ~ tam giác IDN ( c-g-c) => góc IMD = góc NID . Mà trong tam giác vuông MID ta có : gócIMD + gócDIM = 90 => gócMIN = góc DIM + góc NID = góc DIM + góc IMD = 90 => IM vuông góc với IN .Xét tứ giác MHIN ta có : góc NHM= góc MIN= 90 => Tứ giác MHIN nội tiếp => góc AHI = góc MNI .Xét tứ giác IQHP ta có : IP vuông góc với BC , IQ vuông góc với AH , AH vuông góc với PH do đó tứ giác IQHP là hình chữ nhật => góc AHI = góc QPI mặc khác ta có góc AHI = góc INM => QPI = góc INM .Xét tứ giác IPDN ta có : gócIDN = gócIPN = 90 => Tứ giác IPDN nội tiếp => góc INM + góc IPD = 180 do đó gócQPD = góc QPI + gócIPD = góc INM + góc IPD = 180 =>3 điểm Q,P,D thẳng hàng
* Một số tài liệu cũ có thể bị lỗi font khi hiển thị do dùng bộ mã không phải Unikey ...
Người chia sẻ: Nguyễn Khánh Ninh
Dung lượng: |
Lượt tài: 3
Loại file:
Nguồn : Chưa rõ
(Tài liệu chưa được thẩm định)