BÀI HÌNH CỦA TRẦN TUẤN MINH 22.3.2018

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC và điểm A thuộc nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài tam giác ABC hai nửa đường tròn tâm I đường kính AB và tâm K đường kính AC. Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt hai nửa đường tròn (I) và (K) tương ứng tại M và N.
a) Tứ giác MNCB là hình gì ?
b) Chứng minh rằng AM.AN = MB.NC.
c) Chứng minh rằng OMN là tam giác cân.
d) Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích hình MNCB lớn nhất.

Bạn cần thêm điểu kiện A nằm giữa M và N cho bài toán.

HƯỚNG DẪN
c) Gọi D là trung điểm của MN

OD là đường trung bình
của hình thang BCNM

OD // BM//CN ; mà BM
MN

OD
MN

OD vừa là đường trung bình vừa là đường cao

Tam giác OMN cân.
d)

Dễ thấy SABC không đổi (AB, AC không đổi)
Do đó : SMNCB lớn nhất khi SACN và SABM lớn nhất
Ta thấy : SACN =
lớn nhất khi NK’ lớn nhất (do AC không đổi)
Khi đó N là điểm chính giữa của nửa đường tròn (K)
Tương tự SABM lớn nhất khi M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (I)
Khi M, N là điểm chính giữa của nửa đường tròn (I) và (K) thì các tam giác ABM và ACN vuông cân .



Ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Vậy khi (d) đi qua điểm chính giữa của của nửa đường tròn (I) và (K) thì diện tích hình MNCB lớn nhất.

*) Trường hợp A không nằm giữa M và N kết quả sẽ khác (VD M nằm giữa A và N)