BÀI HÌNH CỦA THÙY ANH 01.04.2018

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO 10 THPT – ARCHIMEDES ACADEMY–HÀ NỘI
THÁNG 3/2018
(3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm
, đường kính BC. Điểm
di động trên nửa đường tròn sao cho
. Trên cạnh BC lấy hai điểm D, E sao cho BD = BA và CE = CA. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác các góc của tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng
và

b. Chứng minh rằng tứ giác
nội tiếp.
c. Chứng minh rằng
.
d. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác BID và CIE cắt nhau tại K khác I. Chứng minh rằng đường thẳng qua K và vuông góc với KI luôn đi qua một điểm cố định khi A di động trên nửa đường tròn (O).
Lời giải.
Thầy Trần Văn Quảng : Hiệu Phó – THCS Hương Canh – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc















Xét các tam giác AIC và EIC có: CA=CE (giả thiết),
(giả thiết), CI là cạnh chung, do đó
, do đó IA = IE (1).
Chứng minh tương tự ta cũng có
, do đó IA = ID (2).
Từ (1) và (2) suy ra IA = ID = IE.
Từ
suy ra
. Mà
nên
, do đó tứ giác AIEB nội tiếp.
Ta có
. Xét nửa đường tròn (O) có góc CAB vuông nên AC(AB. Xét đường tròn (C;CA) có AC(AB và điểm A thuộc đường tròn (C;CA) nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (C;CA). Do đó
(vì cùng bằng nửa số đo cung AE).
Xét tứ giác BAIE nội tiếp nên
(2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) do đó
, từ đó
suy ra
.
Do tứ giác BAIE và CAID nội tiếp nên
. Xét đường tròn (EIC) và đường tròn (BID) có
, do đó
, chứng tỏ K thuộc đường tròn (O). Gọi M là giao điểm của (O) với KI (M khác K). Vì
nên M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) có chứa điểm A. Gọi N là giao điểm của MO với đường thẳng qua K và vuông góc với KI thì góc MKN vuông, chứng tỏ N thuộc nửa đường tròn (O) không chứa điểm A. Theo cách vẽ N thì N là điểm chính giữa của nửa đường tròn này, do đó N cố định. Vậy đường thẳng qua K và vuông góc với KI luôn đi qua N cố định.

GV: Dương Thế Nam – THCS Tích Sơn – Vĩnh Yên – Vĩnh Phúc














a) ∆ACE cân tại C (CA=CE) => CI vừa là phân giác đồng thời là đường trung trực.
=> CI cũng là trục đối xứng => đpcm.
b) – c) như thế…
d) Tứ giác AIEB nt =>
BAI =
IED
Tương tự AIDC nt =>
CAI =
IDE
Xét (BID) có:
IDE =
BKI ; xét (CIE) có:
IED =
CKI.
Từ đó suy ra:
BKC =
BKI +
CKI =
BAI +
CAI = 900.
=> K thuộc đường tròn (O) đường kính BC.
KI cắt (O) tại điểm thứ 2 là M, đường thẳng d qua K vuông góc với KI cắt (O) tại điểm thứ 2 là N => MN là đường kính của (O).
Lại có
BKM =
CKM =
CAI =
BAI (AI là phân giác
BAC)
M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) đường kính BC nên M cố định
N cũng là điểm cố định.
mở rộng bài hình trên
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Gọi O1 và O2 theo thứ tự là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH. Chứng minh rằng tứ giác BCO2O1 nội tiếp được đường tròn.