BÀI HÌNH CỦA THẾ VINH

Nhờ thầy cô giúp đỡ.
Bài 5. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn
. Gọi M là một điểm di động trên BC. Vẽ đường tròn (P) đi qua B, M và tiếp xúc với AB. Vẽ đường tròn (Q) đi qua C, M và tiếp xúc với AC. Hai đường tròn (P) và (Q) cắt nhau tại một điểm thứ hai là N.
1/ Chứng minh rằng điểm N thuộc đường tròn (O).
2/ Chứng minh rằng hai đường thẳng BP và CQ cắt nhau tại điểm D cố định.
3/ Xác định vị trí của điểm M để tam giác NBC có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn:
1) Do AB tiếp xúc với (P) nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (P).
Xét (P) ta có:


Tương tự, xét (Q) ta có:


Ta có:




Suy ra tứ giác ABNC nội tiếp
Do đó điểm N thuộc đường tròn (O).
2) Kẻ đường kính AD của (O) => D là điểm cố định.
Xét (O), ta có: BP
AB (gt) ; DB
AB (do AD là đương kính)
=> 3 điểm B,P,D thẳng hàng.
Tương tự ta cũng có: 3 điểm C, D, Q thẳng hàng.
Suy ra: hai đường thẳng BP và CQ cắt nhau tại điểm D cố định.
3) Gọi E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC => OE
BC và BE = CE.
Trên nửa mặt phẳng bờ BE chứa điểm A, dựng tia Ex sao cho . Tia Ex cắt BC tại F.
Ta có
Do góc BNC không đổi, nên SNBC lớn nhất
lớn nhất
BN = CN.
(cũng có thể lập luận: SNBC = 1/2h.BC; trong đó h là khoảng cách từ N đến BC
Do BC không đổi, nên SNBC lớn nhất khi h lớn nhất)
Khi đó điểm N trùng với điểm E, điểm M trùng với điểm F.
Vậy khi điểm M trùng với điểm F (theo cách dựng trên) thì diện tích tam giác NBC lớn nhất.