Bài hình của thầy Giang Tiền Hải

Bài hình của thầy Giang Tiền Hải
Đề bài :Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) có 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H ,DE cắt (O) tại M và N ,MH cắt (O) tại K .Chứng minh:HK=2NK
Hướng dẫn giải
Trước khi giải em xin cảm ơn thầy vì đã cho em một bài rất khó !.Mặc dù đề bài thì rất đơn giản .Gỉai theo những cách thông thường như định lý sin ,xeva ,Menelaus ,ptoleme thì cũng sẽ cũng rất khó khăn để tìm lời giải ! .Vì giả thuyết bài toán thì quá đơn giản ,rời rạc không có gì ăn nhập với nhau hết .Phải kẻ thêm rất nhiều đường phụ mới giải được .Em nghĩ bài này dành cho học sinh làm thì cũng sẽ là rất khó ,ngay ở mức thi HSG thì cũng sẽ không dám ra đề như thế này .Thôi nói nhiều rồi ,em xin đưa ra cách giải như sau :


Gọi I là trung điểm của BC,cho AH cắt BC tại F và cắt (O) tại T thì AF_|_BC ,Cho MN cắt BC tại S .Dễ thấy các tứ giác BEDC ,EFID nội tiếp .Áp dụng phương tích đường tròn ta có :SM.SN=SB.SC=SE.SD=SF.SI=>Tứ giác NMFI nội tiếp=> góc MNI=góc MFB .Dễ chứng minh được :MN_|_OA và cung AM=cung AN .Từ đó chứng minh được :AM2=AE.AB=AH.AF=> góc AMH=góc AFM
Cho AK cắt MN tại Q ,NI cắt AK tại P và cắt HK tại G .Ta có :góc AMH=sđ cung AK/2=(sđ cung AN+sđ cung NK)/2 =(sđ cung AM+ sđ cung NK)/2 = góc NQK .Từ đó suy ra góc AFM=góc NQK .Ta có:góc NQK+góc MNI= góc AFM+góc MFB=góc AFB=90* => NI_|_AK .Ta có cung AM=cung AN nên góc AKN=góc AKM .Từ đó suy ra KN=KG .Dễ thấy AK là trung trực cũa NG cũng suy ra AG=AN .Từ đó ta có:AM=AN=AG=>AG2=AH.AF=> góc AFG=góc AGH .Dễ chứng minh được FH=FT và góc ATK=góc AMK =góc AGH=góc AFG =>FG//TK=>
GH=GK.Từ đó ta có :GH=GK=NK=>HK=2NK