Bài Hình của thầy Giang Tiền Hải

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H. DE cắt (O) tại M và N. MH cắt (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh HK = 2.KN
Lời giải dựa theo bài của bạn Khánh Ninh đơn giản hơn

/
Trên MK lấy điểm J sao cho KJ = KN; gọi giao điểm của AH với BC và (O) lần lượt là P và T;
Ta có OA vuông góc với MN (bài toán quen thuộc) => cung AM = cung AN
=> AM = AN => góc NKA = góc MKA => N đối xứng với J qua AK => AJ = AN
Dễ chứng minh T đối xứng với H qua BC (quen thuộc)
Do góc AME = góc ABM => tam giác AME đồng dạng với tam giác ABM
=> AM2 = AE.AB; do tứ giác BEHP nội tiếp => AE.AB = AH.AP
=> AM2 = AH.AP => tam giác AMH đồng dạng với tam giác APM => góc AMH = góc APM
Mặt khác AM = AN = AJ => AJ2 = AH.AP => tam giác AJH đồng dạng với tam giác APJ => góc AJH = góc APJ
=> góc MPJ + góc MAJ = góc AMH + góc AJH + góc MAJ = 1800 => tứ giác AMPJ nội tiếp => góc APJ = góc AMJ = góc ATK => PJ // TK => JH = JK
Do đó HJ =JK = NK hay HK = 2NK