Bài giảng Toán rời rạc Phần 2

TOÁN HỌC RỜI RẠC
PHẦN 2
DISCRETE MATHEMATICS
PART TWO
NỘI DUNG
PHÉP ĐẾM
Nguyên lý cộng, nhân & bù trừ
Giải tích tổ hợp
Nguyên lý Dirichlet
Công thức đệ quy
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
Đại cương
Đồ thị liên thông
Đường đi ngắn nhất
Cây khung trọng lượng tối tiểu
Luồng cực đại
SỐ HỌC
Lý thuyết chia hết
Lý thuyết đồng dư
2
PHÉP ĐẾM (1)
NGUYÊN LÝ CỘNG, NHÂN, BÙ
A là một tập hợp, ký hiệu |A| bản số của A, trong trường hợp A là tập hữu hạn, |A| chính là số phần tử của A
|A  B|=|A| + |B| -|A  B|
nếu A  B =  thì |A  B|=|A| + |B|
|A x B| = |A| * |B|
BA: |A – B| = |A| - |B|
GIẢI TÍCH TỔ HỢP
S là một tập hợp hữu hạn, |S| = m
Số các tập hợp con của S = 2m
Số các tập con n phần tử của S (n  m) =
Một bộ n phần tử cũa S: (a1, a2, …, an)  Sn
số các bộ n phần tử của S = mn
Số các hoán vị của một dãy m phần tử = m!

3
PHÉP ĐẾM (2)
CÁC VÍ VỤ
Trong một phòng họp có n người, mỗi người bắt tay với mỗi người khác đúng một lần. Số bắt tay?
Dùng n bit để biểu diễn nhị phân cho các số nguyên không âm, số số nguyên có thể được biểu diễn?
Có bao nhiêu số thập phân có 6 chữ số? Bao nhiêu số thập phân có số chữ số nhỏ hơn sáu?
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho n người xung quanh một chiếc bàn họp tròn?
Bây giờ giả sử ông chủ tịch cuộc họp được sắp ngồi ở một ghế xác định, có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho các người còn lại?
Có bao nhiêu dãy số nguyên dương, có tổng bằng n?
Có bao nhiêu dãy k số nguyên dương có tổng bằng n?
Có bao nhiêu cách phân phát n món quà (khác nhau đô một) cho k đứa trẻ?
4
PHÉP ĐẾM (3)
Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 các quân xe trong bàn cờ 8x8 sao cho không quân xe nào « bị tấn công »?
Cây nhị phân chiều cao h có nhiều nhất bao nhiêu nút lá?
Trong mặt phẳng, cho n đường thẳng đôi một cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. n đường thẳng này chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền?
Cho n giác lồi, không có ba đường chéo nào đồng quy, các đường chéo của đa giác chia da giác thành bao nhiêu miền?
5
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (1)
CÁC ĐỊNH NGHĨA, KHÁI NIỆM
Đồ thị (vô hướng)
G=(V, E), V = tập các đỉnh, E=tập các cạnh v1v2, v1, v2  E
Đỉnh cô lập: đỉnh không có cạnh đi qua
Đỉnh treo: chỉ thuộc một cạnh duy nhất (cạnh treo)
Đa đồ thị: tồn tại nhiều hơn 1 cạnh nối hai đỉnh
đồ thị đơn: tồn tại nhiều nhất một cạnh nối hai đỉnh
Đỉnh kề: chung cạnh
Cạnh kề: chung đỉnh
Đồ thị đầy đủ: mọi cặp đỉnh (phân biệt) đều có cạnh nối
Đồ thị con: AV, EA={(v1, v2)  E | v1, v2 A}, GA=(A, EA)
Đồ thị bộ phận: C  E, GC=(E, C)
Đồ thị bộ phận con
6
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (2)
BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ
Ma trận đỉnh-cạnh
Ma trận kề
Ma trận trọng số
Danh sách đỉnh kề
ĐƯỜNG ĐI & CHU TRÌNH
Đường đi: u, v  V, u=v0, v1, …, vn=v sao cho vivi+1  E
Đường đi sơ cấp: tập i=0, …, n-1: vi  vi+1
Chu trình: v0 = vn
Chu trình sơ cấp: i=1, …, n-1: vi  vi+1
ĐỒ THỊ LIÊN THÔNG
Đồ thị vô hướng liên thông: u, v  V, đường đi giữa u, v
Thành phần liên thông:
Giải thuật A1
Đỉnh khớp, cạnh eo
Đồ thị liên thông bậc 2: Liên thông, bậc  3, không có đỉnh khớp
Giải thuật A2
7
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (3)
Đồ thị có hướng
G=(V, C), V=tập các đỉnh, C=tập các cung (v1, v2), v1, v2  E
Khuyên
Đỉnh cô lập
Đỉnh treo, cung treo: mút cuối của chỉ một cung
Nửa bậc trong (vào): d-(x)
Nửa bậc ngoài (ra): d+(x)
Bậc của đỉnh: d(x) = d- (x) + d+(x)
+(A) = { (i, j)| iA, j A }
-(A) = { (i, j)| jA, i A }
(A) = +(A)  -(A)
Đa đồ thị, đồ thị đơn
Đỉnh kề, cung kề
Đồ thị có hướng đối xứng, phi đối xứng


8
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (4)
BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ
Ma trận đỉnh-cung: c=(v, .): M(v, c)=1, c=(., v): M(v, c)=-1
Ma trận kề: (u, v)  C: M(u, v) = 1
Ma trận trọng số: (u, v)  C, trọng số w: M(u, v) = w
Danh sách đỉnh kề
ĐƯỜNG ĐI & CHU TRÌNH
Đường đi: u, v  V, u=v0, v1, …, vn=v sao cho (vi, vi+1)  C
Đường đi sơ cấp: tập i=0, …, n-1: vi  vi+1
Chu trình: v0 = vn
Chu trình sơ cấp: chu trình & i=1, …, n-1: vi  vi+1
ĐỒ THỊ LIÊN THÔNG
Đồ thị có hướng liên thông: đồ thị vô hướng tương ứng liên thông
Đồ thị có hướng liên thông một chiều: u, v  V, đường đi từ u đến v hoặc từ v đến u
Đồ thị có hướng liên thông mạnh: u, v  V, đường đi từ u đến v và đường đi từ v đến u
Thành phần liên thông: quan hệ R={(u, u)| u E} {(u, v) | đường đi từ u đến v và đường đi từ v đến u}
9
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (7)
ĐỒ THỊ EULER
G=(V, E) hữu hạn, liên thông
Đường đi Euler, chu trình Euler
Đồ thị Euler, nửa Euler
Định lý Euler
Bậc mỗi đỉnh  2, đồ thị có chu trình
G là đồ thị Euler khi và chỉ khi bậc mỗi đỉnh là chẵn
G là đồ thị nửa Euler khi và chỉ khi G có không quá hai đỉnh bậc lẻ
G có hướng, liên thông mạnh là Euler khi và chỉ khi
xE: d-(x)=d+(x)
10
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (8)
ĐỒ THỊ HAMILTON
Đường đi Hamilton
Chu trình Hamilton
Đồ thị Hamilton
Đồ thị nửa Hamilton
Các định lý:
Đồ thị đơn vô hướng bậc n > 2, nếu x  E, d(x)  n/2 thì là đồ thị Hamilton
Đồ thị có hướng liên thông bậc n, nếu x  E, d-(x), d+(x)  n/2 thì là đồ thị Hamilton
Đồ thị có hướng, đầy đủ là đồ thị nửa Hamilton
Đồ thị có hướng, đầy đủ bậc > 2 là đồ thị Hamilton
Đồ thị đấu loại
Đồ thị đấu loại là nửa Hamilton
Đồ thị đấu loại liên thông là Hamilton

11
ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT
BÀI TOÁN
GiẢI THUẬT MOORE-DIJKSTRA
(w(i), p(i))
Điều chỉ w(i) và p(i) mỗi khi triển khai một đỉnh k
t= w(i)
w(i) = min{ w(i), w(k)+l(k, i) }
Nếu t > w(i): p(i)=k
DAG
Đỉnh gốc
Hạng của một đỉnh = đường đi dài nhất từ gốc
12
CÂY & CÂY CÓ HƯỚNG
Định nghĩa
Cây
Rừng
CÂY KHUNG TRỌNG LƯỢNG NHỎ NHẤT
Bài toán
Giải thuật Kruskal
Giải thuật Prim
13
LUỒNG CỰC ĐẠI (1)
MẠNG:
Đổ thị có hướng G = (V, A) là một mạng khi:
Tồn tại duy nhất một đỉnh phát s, không có cung vào, chỉ có cung ra
Tồn tại duy nhất một đỉnh thu t, không có cung ra, chỉ có cung vào
Mỗi cung a được gắn với một giá trị không âm c(a), được gọi là băng thông của cung
Nếu không tồn tại cung từ u đến v, băng thông của (u, v) dược quy ước là 0
Luồng trong mạng
G = (V, A) là một mạng
Ánh xạ f: A  R+ được gọi là một luồng trong mạng G khi
Giới hạn của luồng: a  A: f(a)  c(a) (luồng của cung không vượt quá băng thông của cung)
Điều kiện cân bằng luồng: v  V, v  s, v  t, tổng các luồng trên các cung vào v bằng các luồng trên các cung ra khỏi v

14
LUỒNG CỰC ĐẠI (2)
Giá trị của luồng: Tổng luồng trên các cung xuất ra từ s bằng với tổng luồng trên các cung thu vào tại t



Được gọi là giá trị của luồng trên mạng
Bài toán luồng cực đại trong mạng:
Xác định luồng cực đại f (luồng có giá trị lớn nhất)



LÁT CẮT VÀ SỰ TĂNG LUỒNG
Lát cắt:
G = (V, A) là một mạng, X0  V, Y0 = V – X0
Lát cắt (X0, Y0) là tập các cung (i, j) sao cho:
nếu i  X0 thì j  Y0
nếu i  Y0 thì j  X0
Nếu điểm phát và điểm thu thuộc hai phần khác nhau của lát cắt, lát cắt được gọi là lát cắt tách
15
LUỒNG CỰC ĐẠI (3)
Khả năng thông của lát cắt là tổng các băng thông của các cung (u, v) với u  X0, v  Y0



Lát cắt với khả năng thông nhỏ nhất được gọi là lát cắt hẹp nhất
Sự tăng luồng trong mạng:
Nếu f là một luồng, (X0, Y0) là một lát cắt thì:
Val(f)  c(X0, Y0)
Giá trị của luồng cực đại không vượt quá khả năng thông của lát cắt hẹp nhất
Đồ thị tăng luồng:
f là một luồng trong G = (V, A)
Đồ thị tăng luồng Gf = (V, Af) được xây dựng như sau:
(u, v)  A: f(u, v)=0 thì (u, v)  Af với trọng số p(u, v) = c(u, v)
(u, v)  A: f(u, v)=c(u, v) thì (u, v)  Af với trọng số p(u, v)=f(u, v)
(u, v)  A: 0 (u, v)  Af với trọng số p(u, v)=c(u, v) – f(u, v)
(v, u)  Af với trọng số p(u, v)=f(u, v)
16
LUỒNG CỰC ĐẠI (4)
Cung thuận: (u, v)  Af, (u, v)  A
Cung nghịch: (u, v)  Af, (u, v)  A
Đường tăng luồng: đường đi trong Gf từ s đến t
Sự tăng luồng: P = { s=v0, v1, …, vk=t } là đường tăng luồng
>0 là giá trị nhỏ nhất trong các trọng số của các cung trên P. Xây dựng ánh xạ g: Af  R+ như sau:
g(u, v) = f(u, v) +  nếu (u, v) là cung thuộc P và là cung thuận
g(u, v) = f(u, v) -  nếu (u, v) là cung thuộc P và là cung nghịch
G(u, v) = f(u, v) nếu (u, v) không thuộc P
f là luồng trong G = (V, A)
Các mệnh đề sau là tương đương:
f là luồng cực đại
Không tìm được đường tăng luồng P
Tồn tại lát cắt (X0, Y0): Val(f) = c(X0, Y0)
TÌM LUỒNG CỰC ĐẠI
Định lý Ford-Fulkerson: Giá trị của luồng cực đại bằng khả năng thông của lát cắt hẹp nhất
17
LUỒNG CỰC ĐẠI (4)
Thuật toán Ford-Fulkerson:
Gán nhãn: Mỗi đỉnh trong mạng thuộc vào một trong ba trạng thái:
Chưa được gán nhãn
Đã được gán nhãn nhưng chưa được duyệt
Đã được gán nhãn và đã được duyệt
Nhãn của một đỉnh y có dạng:
y : [ x, (y) ]
+x có nghĩa cần tăng luồng theo cung (x, y)
-x có nghĩa cần giảm luồng theo cung (x, y)
Khởi đầu tất cả các đỉnh đều chưa được gán nhãn
B1:
gán nhãn cho s : [+s, ]
B2:
Chọn một đỉnh x có nhãn nhưng chưa được duyệt, giả sử nhãn của x có dạng x : [ y, (x) ]
Gãn nhãn cho mỗi ảnh u của x chưa được gán nhãn mà f(x, u) u : [+x, (u) ] / (u) = min{ (x), c(x, u) – f(x, u) }
Gán nhãn cho mỗi tạo ảnh v của x chưa được gán nhãn mà f(v, x) > 0
v : [-x, (v) ] / (v) = min{ (x), f(v, x) }
x được duyệt
18
LUỒNG CỰC ĐẠI (4)
B3:
Lặp lại B2 cho đến khi
Hoặc đỉnh thu được gán nhãn t : [ y, (t) ]: chuyển sang B4
Hoặc không thể gán nhãn cho đỉnh thu t: thuật toán kết thúc. Đặt X0 tập các đỉnh được gán nhãn, Y0 tập các đỉnh không được gán nhãn, khi đó (X0, Y0) là lát cắt hẹp nhất
B4:
đặt x = t : [ y, (t) ], chuyển sang B5
B5
Nếu x có nhãn x : [+u, (x) ] tăng luồng trên cung (u, x) như sau:
f(u, x) = f(u, x) + (t)
Nếu x có nhãn x : [-u, (x) ] giảm luồng trên cung (x, u) như sau:
f(x, u) = f(x, u) - (t)
B6
Nếu x  s, đặt x = u quay lại B5.
khác đi xóa tất cả các nhãn, quay lại B1

19
SỐ HỌC (1)
CHIA HẾT & CHIA CÓ DƯ
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT, BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
Ưcln
Nguyên tố cùng nhau
Nguyên tố sánh đôi
Các tính chất:
(a1, a2, …, an) = d  x1, x2, …, xn / a1x1 + a2x2 + …+anxn=d
m nguyên dương: (ma1, ma2, …, man) =m (a1, a2, …, an)
d>0 là ước chung của a1, a2, …, an thì



(a1, a2, …, an) = d thì

Nếu c | ab , (a, c)=1 thì c | b
Nếu b | a , c | a , (b, c) = 1 thì bc | a
Nếu (a, b)=1 thì (ac, b) = (c, b)
20
SỐ HỌC (2)
Nếu (a, b)=1, (a, c)=1 thì (a, bc)=1
Nếu a=pb + r (0  r < b) thì (a, b) = (b, r)
BCNN
[a1, a2, …, an]



M= [a1, a2, …, an] 


k-nguyên dương: [ka1, ka2, …, kan]= k[a1, a2, …, an]
(a1, a2, …, an) =d



a1, a2, …, an nguyên tố sánh đôi [a1, a2, …, an] = a1a2 … an
21
SỐ HỌC (3)
SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ
Số nguyên tố
Hợp số
p nguyên tố, n  0 thì p | n hoặc (n, p)=1
p | a1a2…ak thì i / p | ai
p | p1p2…pk thì i / p = pi
n > 1, n phân tích thành tích của các số nguyên tố, sự phân tích đó là duy nhất (sai khác thứ tự nhân tử)
Dạng phân tích chuẩn:

, d | iff i: 0  i  i


22
SỐ HỌC (4)
PHƯƠNG TRÌNH NGUYÊN
ax + by =c
d=(a, b)
Nếu d không là ước của c thì phương trình vô nghiệm
Nếu d | c thì nghiệm của phương trình có dạng:





a1x1 + a2x2 + … + anxn =b
Phương trình có nghiệm (nguyên) iif các ai nguyên tố cùng nhau
Phương trình bậc cao
ĐỒNG DƯ
a = b (mod m) iif dư của phép chia a cho m = dư của phép chia b cho m
23
Trong đó, x0, y0 là một nghiệm (nguyên) của phương trình
SỐ HỌC (5)
Quan hệ đồng dư là quan hệ tương đương
Các mệnh đề tương đương:
a = b (mod m)
a = b + mt
(a-b) = 0 (mod m)
Các tính chất:
ai = bi (mod m) i=1, 2, …, n thì
(a1 + a2 + … + an ) = (b1 + b2 + … + bn) (mod m)
a1a2…an = b1b2… bn (mod m)
a = b (mod m) thì (a+c) = (b+c) (mod m)
a = b (mod m) thì a = (b +km) (mod m), (a+km) = b (mod m)
a = b (mod m) thì an = bn (mod m)
a = b (mod m) thì ac = bc (mod m)
(c, m)=1, a = b (mod m) iif ac = bc (mod m)
d = (a, b, m) thì (a/d) = (b/d) (mod (m/d))
d=(a, b), (d, m)=1 thì (a/d) = (b/d) (mod m)
a = b (mod mi) i=1, 2, …, n thì a = b (mod [m1, m2, …, mn])
24
SỐ HỌC (6)
a = b (mod m), d | m thì a = b (mod d)
a = b (mod m), d | a , d | m thì d | b
a = b (mod m) thì (a, m) = (b, m)
VÀNH Zn
PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ MỘT ẨN
ax = b (mod m)
d=(a, m)
Nếu d không là ước của b, phương trình vô nghiệm
Nếu d | b phương trình có đúng d nghiệm







25
x0 là một giá trị thỏa mãn phương trình
SỐ HỌC (7)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ BẬC NHẤT MỘT ẨN







Nếu m1, m2, …, mn nguyên tố sánh đôi thì hệ có nghiệm duy nhất:
M=[m1, m2, …, mn ] = m1m2 … mn
Mi = M/mi (i=1, …, n)
Giải phương trình đồng dư
Miy = ai (mod mi) (i=1, …, n)
tìm được nghiệm: y = Ni (mod mi)
x=M1N1 + … + MnNn (mod M) là nghiệm của hệ
26
SỐ HỌC (8)
PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN
f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an = 0 (mod m)


Phương trình tương đương với hệ:





Giải phương trình f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an = 0 (mod p) (*) 
Giải phương trỉnh f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an = 0 (mod p-1) (**)
Giả sử phương trình có nghiệm x = x0 (mod p-1)
Giải phương trình: f’(x0) t + f(x0)/p-1 = 0 (mod p-1)
Gọi t = t0 (mod p-1) là nghiệm của phương trình
Khi đó nghiệm của phương trình (*) là: x=x0 + t0 p-1 (mod p)
27
28
END OF PART TWO`S THEORY