Bài giảng Hóa lượng tử

Sự xuất hiện của lý thuyết lượng tử . Hoá học, đúng như tên của nó chỉ ra, là khoa học về sự chuyển hóa và biến đổi của các chất.
Nhưng hoá học ngày nay không chỉ dừng lại ở việc mô tả, giải thích và tìm quy luật cho các hiện tượng quan sát được mà đi sâu vào nghiên cứu bản chất của các tương tác hoá học . Các tương tác này do cấu tạo nguyên tử , phân tử quyết định. Có thể nói, lý thuyết về cấu tạo chất, mà cơ sở của nó là hoá học lượng tử là một trong những nền tảng quan trọng nhất của hoá học hiện đại.
Sau những phát minh quan trọng của vật lý ở cuối thế kỉ 19 và đầu thế kỉ 20 như hiện tượng phóng xạ, các hiệu ứng quang điện, hiệu ứng Compton, các hạt cơ bản v.v...thì các mẫu nguyên tử lần lượt ra đời. Nhưng những mô hình đó không đưa lại bức tranh toàn cảnh phản ảnh đúng bản chất của cấu tạo nguyên tử và lẽ đương nhiên người ta phải tìm một giải pháp hữu hiệu hơn.
Người ta có thể nhận thấy là hệ vi mô có những tính chất khác biệt, tuân theo những quy luật riêng , khác hẳn với các hệ vĩ mô vốn là đối tượng của vật lý cổ điển. Việc mô tả và nghiên cứu chúng , do đó đòi hỏi phải có một ngành khoa học riêng và hoàn chỉnh hơn. Đó là cơ học lượng tử.
Vào năm 1926, E. Schroedinger- một nhà vật lý người áo là người đầu tiên đề xuất ý kiến xây dựng cơ học lượng tử, .
Theo ông, ngành cơ học mới này phải được trang bị những công cụ toán học mới và phải có liên hệ tương thích với các phân ngành khác nhau của vật lý cổ điển như quang hình, quang lý và cơ học cổ điển . Bản thân ông, bằng cách sử dụng hệ thức de Broglie về sóng vật chất , đã tìm ra và đưa vào cơ học lượng tử như một tiên đề phương trình chính tắc mang tên ông. Những công trình của Heisenberg, Born, Dirac... sau đó đã góp phần biến cơ học lượng tử thành ngành khoa học tổng quát, hoàn chỉnh, có cơ sở lý thuyết hệ thống và nhất quán với giới hạn ứng dụng vượt ra ngoài thế giới vi mô ban đầu.
Vậy hệ cơ sở lý thuyết cơ bản ấy như thế nào?
Trước tiên ta xét các thuộc tính quan trọng của hệ vi mô.



1.1. Sóng vật chất de Broglie.
Dựa trên các dữ kiện thực nghiệm, năm 1924, nhà bác học người Pháp Louis-de Broglie đã đưa ra một giả thiết quan trọng cho rằng: "Mọi dạng vật chất chuyển động đều liên kết (tương ứng) với một sóng, gọi là sóng vật chất de Broglie".
Như vậy, mọi dạng vật chất đều có bản chất sóng ? hạt. Bước sóng ? (tính chất sóng) và khối lượng m (tính chất hạt) của các hạt vật chất chuyển động có hệ thức liên hệ (*):

trong đó: h - hằng số Planck; h = 6,6256.10?34 J.s
1.2. Nguyên lí bất định Heisenberg.
Trong cơ học cổ điển, khi khảo sát sự chuyển động của hạt người ta nghĩ đến quĩ đạo, nghĩa là thừa nhận rằng tại một thời điểm xác định hạt có một toạ độ xác định. Tuy nhiên, khi nói đến tính chất sóng của hạt, thì khái niệm quĩ đạo không còn ý nghĩa nữa.
Điều đó có nghĩa là khi đã thừa nhận tính chất sóng của các hạt vật chất chuyển động thì: "Toạ độ và động lượng của các hạt (vi mô) không thể đồng thời có giá trị xác định".
Kết luận trên được diễn tả qua một hệ thức bất định Heisenberg (1927):
?q . ?p ? ?

Ta có thể tóm tắt sự khác nhau chính giữa hai loại cơ học như sau :







Các đại lượng của hệ ở vào trạng thái không đồng thời xác đinh. Như vậy sự mô tả ở đây có tính chất thống kê
Cơ học lượng tử được xây dựng trên cơ sở một hệ các tiền đề, không chứng minh được bằng lí thuyết nhưng được kiểm định và được khẳng định sự đúng đắn của chúng bằng thực nghiệm. Như vậy trước khi nói đến hoá học lượng tử chúng ta phải trình bầy những cơ sở chính yếu của lý thuyết lượng tử dưới dạng một hệ tiên đề. Để xây dựng hệ tiên đề này người ta phải sử dụng các công cụ toán học khác nhau. Trước tiên ta xem xét vấn đề này.
Những nguyên lí cơ sở của cơ học lượng tử
2.1. Toán tử.
2.1.1. Định nghĩa.Toán tử là một phương pháp toán học tác dụng lên một hàm bất kì chuyển nó thành một hàm khác.
 ?(x) = ?(x)
2.1.2. Toán tử tuyến tính.
a. Định nghĩa. Â là toán tử tuyến tính nếu chúng thỏa mãn các điều kiện:
Â(c ?) = c  ?
Â(?1 + ?2) = Â?1 + Â?2
b. Một số tính chất của toán tử .
1) Tổng, hiệu, tích các toán tử.
Â, B là các toán tử. Nếu đối với một hàm bất kì, ta có các hệ thức sau đây:
S? = Â? + B?
D? = Â? ? B?
P? = Â (B? )
thì S gọi là tổng; D là hiệu và P là tích của hai toán tử Â và B.
2) Tích của hai toán tử nói chung là không giao hoán (khác với tích của hai số): ÂB ?BÂ. Vì vậy khi viết biểu thức tích của hai toán tử cần chú ý đến thứ tự các thừa số.
Hiệu ÂB ? BÂ được kí hiệu là [Â,B] và gọi là giao hoán tử của hai toán tử Â và B . Khi đó:
Nếu  và B là giao hoán thì: [Â,B]=[ÂB?BÂ] = 0
Nếu  và B không giao hoán thì:[Â,B]=[ÂB?BÂ] ? 0
c) Hàm riêng và trị riêng của toán tử tuyến tính.
Trong cơ học lượng tử, ta thường gặp những hàm mà khi toán tử Â đã tác dụng lên, hàm này sẽ chuyển thành một hằng a nhân với chính nó.
Â?(x) = a ?(x)
trong đó: Â ? toán tử tuyến tính, ?(x) là hàm riêng của toán tử Â, a gọi là trị riêng của toán tử Â

d) Điều kiện cần và đủ để hai đại lượng cơ học đồng thời xác định là hai toán tử tương ứng phải giao hoán với nhau.
2.1.3. Toán tử Hermite.
a) Định nghĩa.Có toán tử tuyến tính  và các hàm ?(x), f(x) bất kì. Toán tử  gọi là toán tử Hermite (hay toán tử tự liên hợp tuyến tính) nếu: