Bài Giảng chuyên đề số chính phương

Nhiệt liệt chào mừng
các thầy cô giáo về dự hội thảo
Môn toán lớp 9
9B
Người thực hiện: Nguyễn Thị Ngọc Hương
Trường THCS Quang Trung
6A
Đoàn kết - Chăm ngoan - Học giỏi -
Nhiệt liệt chào mừng
các thầy cô giáo về dự chuyên đề môn Toán lớp 6

Gv: Kim Dỡnh Thái
Trường THCS Phạm Công Bnh

I.Kiến thức cơ bản:
1/ Định nghĩa:.
Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên
2/ M?t s? tớnh ch?t:
Số chính phương chỉ có thể tận cùng bằng 0; 1; 4; 5; 6; 9. Không thể có chữ số tận cùng bằng 2; 3; 7; 8.
2. Khi phõn tớch ra th?a s? nguyờn t?, s? chớnh phuong ch? ch?a cỏc th?a s? nguyờn t? v?i s? mu ch?n, khụng ch?a th?a s? nguyờn t? v?i s? mu l?.
Từ tính chất này ta suy ra:
Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
3. S? lu?ng cỏc u?c c?a m?t s? chớnh phuong l� s? l?. D?o l?i m?t s? cú s? lu?ng cỏc u?c l� s? l? thỡ s? dú l� s? chớnh phuong.
Chuyên đề : Số chính phương
II/ B�i t?p v?n d?ng
Dạng 1: Dựa vào tính chất của chữ số tận cùng.
Ví dụ 1:
Các tổng (hiệu )sau có là số chính phương không ?
a) 3.5.7.9.11 + 3.
b) 2.3.4.5.6 - 3.
Lời giải:
a) Ta thấy tổng 3.5.7.9.11 + 3 có chữ số tận cùng là 8 nên tổng trên không là số chính phương.
b) Hiệu 2.3.4.5.6 - 3 có chữ số tận cùng là 7 nên hiệu trên không là số chính phương.
Ví dụ 2:
Các tổng sau có là số chính phương không ?
A = 11 + 112 + 113
B = 1010 + 8.
C = 100! + 7
Lời giải:
Ta có A có chữ số tận cùng là 3 nên A không là số chính phương
Ta có B có chữ số tận cùng là 8 nên B không là số chính phương.
Ta có C có chữ số tận cùng là 7 nên C không là số chính phương.
Chuyên đề : Số chính phương
Ví dụ 3:
Tìm số tự nhiên n (n>0) sao cho tổng
1! + 2! + 3! + ... + n! là một số chính phương.
Lời giải:
Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương.
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương.
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 9 = 32 là số chính phương.
Với
thì 1! + 2! + 3! + ... + n! có chữ số tận cùng bằng 3 nên không là số chính phương
(vì 1! + 2! + 3! + 4! =33, còn 5!,6!, .... đều có tận cùng bằng 0).
Chuyên đề : Số chính phương
Dạng 2: Dựa vào tính chất chia hết.
Ví dụ 1: Các tổng sau có là số chính phương không ?
a) A = 3 + 32 + 33 + ... + 320
b) B = 105 + 5.
c) C = 10100 + 1050 + 1.
Lời giải:
Ta biết rằng số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9.
Mà A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, do đó A không là số chính phương.
b) Ta có B chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên B không là số chính phương.
c) Ta có C chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên C không là số chính phương.
Ví dụ 2: Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 101 làm thành một số A thì A có là số chính phương hay không ?
Lời giải:
Ta có:A = 123456…99100101
- T?ng cỏc ch? s? c?a s? A b?ng 903 nờn A chia h?t cho 3, nhung A khụng chia h?t cho 9, nờn A khụng l� s? chớnh phuong
Chuyên đề : Số chính phương
Ví dụ 3: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 3; 6; 8; 8.
Lời giải:
Gọi n2 là số chính phương phải tìm.
Vì số chính phương không tận cùng bằng 3; 8 do đó n2 phải tận cùng bằng 6.
Nếu 2 chữ số tận cùng của n2 có tận cùng bằng 86 thì chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không là số chính phương. Nên n2 có tận cùng bằng 36.
Số chính phương cần tìm là 8836 = 942.
Chuyên đề : Số chính phương
Dạng 3: Dựa vào số lượng các ước của một số chính phương.
Ví dụ 1: Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số M = 1234...1112. Số M có thể có 81 ước được không ?.
Lời giải:
Số lượng các ước của M là 81, là số lẻ, nên M là số chính phương.(1)
Mặt khác, tổng các chữ số của M bằng 51 nên M chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9,
do đó M không là số chính phương. (2) mâu thuẫn với (1).
Vậy M không thể có 81 ước.
Ví dụ 2: Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 101 làm thành một số B. Vậy số B có thể có 35 ước hay không?
Lời giải:
Ta có:B = 123456…99100101
- T?ng cỏc ch? s? c?a s? B b?ng 903 nờn B chia h?t cho 3, nhung B khụng chia h?t cho 9, nờn B khụng l� s? chớnh phuong
Vậy số lượng các ước của số B không thể là số lẻ.
Chuyên đề : Số chính phương
Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 135 thì ta được một số chính phương.
Lời giải:
Gọi số phải tìm là n, ta có 135n = a2
hay 33.5.n = a2
Số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n = 3.5.k2
Với k = 1 thì n = 15, với k = 2 thì n = 60, với
thì
có nhiều hơn hai chữ số (loại).
Vậy số phải tìm là 15 hoặc 60.
Chuyên đề : Số chính phương
.
III. Bài tập luyện thêm
Bài toán 1 : Chứng minh số :
n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 không phải là số chính phương.
Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 lần lượt là
6 ; 9 ; 4 ; 1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương.
Lời giải:
Bài toán 2 : Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương.
Lời giải:
C1: Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.
C2: Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0), nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương.
Chuyên đề : Số chính phương
Bài toán 3. Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng nhân nó với 45 ta được một số chính phương
Bài giải
Gọi số phải tìm là n, ta có 45n = a2
hay 3 2.5.n = a2
Số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n = 5.k2
Với k = 1 thì n = 5 (Không phải là số có 2 chữ số) loại
với k = 2 thì n = 20 (thỏa mãn)
với k = 3 thì n = 45 (thỏa mãn)
với k = 4 thì n = 80 ( thỏa mãn)
thì
có nhiều hơn hai chữ số (loại).
Với
Vậy số phải tìm là :20; 45; 80
Chuyên đề : Số chính phương