Bài giảng Bất đẳng thức của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu (Chương 3)

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.2. BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG

BÀI GIẢNG
3.2. Bất đẳng thức AG suy rộng
Tiếp theo ta xét phần mở rộng bất đẳng thức giữa TBC và TBN. Có rất nhiều mở rộng ta xem xét 2 mở rộng lớn được sử dụng trong lý thuyết
- Mở rộng thứ 1:
Định lý 3.2. (Bất đẳng thức AG suy rộng)
Cho hai cặp dãy số dương
Khi đó ta sẽ có bất đẳng thức



Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.2. BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG

BÀI GIẢNG
Bằng phương pháp đã nêu ở trên ta có thể chứng minh bất đẳng thức giữa TBC và TBN suy rộng không mấy khó khăn
Chứng minh. Đặt



Sử dụng bất đẳng thức


Ta thu được hệ



Vì vậy khi nhân vào ta được bất đẳng thức bất kỳ
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.2. BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG

BÀI GIẢNG
Mở rộng thứ 2: Đo độ chênh lệch giữa TBC và TBN

Định lý 3.3. Với mọi dãy số dương ta đều có




Và như vậy ta đo được độ chênh lệch đó
Khi và lệch pha nhau thì hiệu giữa TBC và TBN sẽ dương
Khi chúng trùng nhau thì nó sẽ giảm dần



Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
3.3. Hàm phân thức chính quy
Hàm phân thức chính quy là việc mở rộng rất tự nhiên của bất đẳng thức giữa TBC và TBN. Căn cứ vào bất đẳng thức giữa TBC và TBN suy rộng

Định nghĩa 3.3.
Nếu có hàm số

trong đó


Thì ta gọi biểu thức này là hàm phân thức chính quy


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Ví dụ 3.11. Dễ dàng kiểm chứng các hàm số




Ta nhận thấy các tính chất:
Các hệ số không âm
Tổng các tích của hệ số nhân với số mũ = 0 đều thỏa mãn
Vậy và là các hàm phân thức chính quy:
Tính chất 3.3. Nếu là các hàm phân thức chính quy, thì ứng với mọi
Tính chất 3.4. Nếu và là các hàm phân thức chính quy, thì với mọi cặp số dương hàm số

cũng là hàm phân thức chính quy.
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Tính chất 3.5. Nếu và là các hàm phân thức chính quy,
thì hàm hợp của 2 hàm đó


cũng là hàm phân thức chính quy.

Tính chất 3.6. Đặc biệt, luỹ thừa của hàm phân thức chính quy



cũng là hàm phân thức chính quy.
Như vậy có thể coi đa thức là hàm phân thức chính quy mà có hệ số tự do khác 0 thì cũng là hàm phân thức chính quy với tổ hợp là các hệ số không âm
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Định nghĩa 3.4. Có thể mở rộng hàm phân thức chính quy cho hàm nhiều biến


Thì ta cũng xây dựng được tính chất tương tự theo từng biến




Thì ta gọi hàm đã cho là hàm phân thức chính quy nhiều biến.
Như vậy ta có thể xây dựng các cấu trúc của hàm phân thức chính quy nhiều biến thông qua hàm phân thức chính quy ít biến bằng cách mở rộng hệ thức này
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Một số hàm phân thức chính quy 2 biến
Ví dụ 3.12.
Chúng ta xem xét các hàm số


Đây là 2 hàm phân thức chính quy độc lập ta có thể cấu thành thành hàm phân thức chính quy 2 biến cùng với hệ số đó, giữ nguyên thứ tự của các biến ta được


Là hàm phân thức chính quy 2 biến
Và tương tự ta có cấu trúc để dựng hàm phân thức chính quy nhiều biến
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Định lý 3.5. Với mỗi hàm phân thức chính quy trên tập
dạng




Thì ta đều có



Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Hay nói cách khác các hàm phân thức chính quy đạt giá trị nhỏ nhất trên tập các số dương tại các điểm bằng 1

(Với cặp số dương thì



Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức AG suy rộng)
Từ đó chỉ ra rằng biểu thức chính quy cho ta hệ quả của hàm phân thức chính quy xác định trên tập dương sẽ có gía trị nhỏ nhất đạt tại




Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Hàm phân thức chính quy này cho phép xây dựng nhiều cấu trúc của các bài toán mà khi tính toán rất phức tạp nhưng nếu biết được hình thức đó thì ta còn mở rộng hàm phân thức chính quy:
- Từ đạt tại điểm 1 thành đạt tại một điểm tùy ý nào đó bằng cách dùng phép đồng dạng
Không đòi hỏi các hệ sô bằng 0 mà hệ số có thể bằng hằng số nào đó rồi chúng ta biến đổi để trở về hệ số bằng 0
Và như vậy có thể mở rộng khái niệm hàm phân thức chính quy cho các hàm số tổng quát hơn