Bài giảng Bất đẳng thức của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu (Chương 2)

Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Bài toán 1: Xét


Tìm GTLN của


Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
HD giải:
- Nếu


thì


Khi đó
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG





- Nếu


thì

Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Khi đó








Nhận xét: Bổ sung thêm vào dãy số (1) số


trong đó chính là dãy được sắp theo thứ tự tăng dần.
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Khi đó, ta có



vì ta có


Do vậy





hay

Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Dấu “=“ xảy ra khi dãy đã cho có 1 điểm trùng với
Ta thu được bài toán mới sau
Bài toán 2: Xét dãy số


trong đó
Tìm GTLN của





Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG


HD giải: Ký hiệu

Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
và là hàm nghịch biến đồng thời


Nên








Suy ra

đạt được khi
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Ví dụ 1: Xét hàm số



và xét tất cả các dãy số



Chứng minh rằng



HD giải:


Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Ta có





mà




Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
-1
0
2
1
-1
y
x
1
2
2
5
-1
2
-3
2
-8
5
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Ta thấy nghịch biến trong đồng biến trong và nghịch biến trong

Ta thấy đoạn có độ dài bằng đoạn nên
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi và


Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG


Bài toán tổng quát:
Xét hàm số bất kỳ trên


Tìm
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
a
b
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG


Với k > 5. Tìm
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Ứng dụng của hàm đơn điệu
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Bài toán 1: Cho
Chứng minh rằng



HD giải:





Xét hàm

Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Từ (*) ta thấy



Bài toán tương đương với chứng minh (với mọi bộ số dương cho trước)
Ta chỉ cần chứng minh



hay hàm là hàm đồng biến.
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Bài toán 2: Cho
Chứng minh rằng



HD giải: Vì vai trò của như nhau nên không mất tính tổng quát ta coi

thì ta thấy rằng


Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Xét các hiệu






Ta có






Ta thu được đpcm.