Bài Giải Lý Thuyết Nhóm

Bài 1. Cho X là tập các số thực nằm trong [0,1]. Trên X xây dựng phép toán (*) sau:


Chứng minh rằng (S,*) là vị nhóm giao hoán.

Giải






















Từ đó ta suy ra (X,*) là vị nhóm giao hoán. (đpcm)

Bài 2. Trong tập
, ta định nghĩa một phép toán (*) như sau:
(m,n)*(k,l)=(m+k,2kn+l).
Chứng minh rằng:
(X,*) là vị nhóm.
Phép toán (*) trong X là chính quy.
Giải
Giả sử (m,n), (k,l) và (p,q)
X. Ta có:
[(m,n)*(k,l)]*(p,q) = (m+k,2kn+l)*(p,q)
= (m+k+p,2p+kn+2pl+q)
(m,n)*[(k,l)*(p,q)] = (m,n)*(k+p,2pl+q)
= (m+k+p,2p+kn+2pl+q)
Do đó (X,*) có tính kết hợp.

(m,n)
X, ta có:
(m,n)*(0,0) = (m+0,20n+0)
= (m,n).
Do đó (0,0) là phần tử tung hòa của (X,*).
Từ trên suy ra (X,*) là một vị nhóm.
Giả sử (a1,a2), (b1,b2) và (c1,c2)
X, ta xét:
(a1,a2)* (b1,b2) = (a1,a2)* (c1,c2)

( a1+ b1,2b1 a2+b2) = (a1+c1,2c1a2+c2)
Từ trên dễ dàng suy ra: (b1,b2) = (c1,c2)
Do đó (*) là chính quy.