Bài giải chi tiết các bài toán hình Quảng Nam 2000-2010(basan)

Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt cạnh
AB, AC lần lượt tại E và F ; BF cắt EC tại H. Tia AH cắt đường thẳng
BC tại N .
a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp .
b) Chứng minh FB là phân giác của
.
c) Giả sử AH = BC . Tính số đo góc
của (ABC.
BÀIGIẢI CHI TIẾT
a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp:
Ta có :
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
đường kính BC)
Tứ giác HFCN có
nên nội tiếp được trong
một đường tròn đường kính HC) (đpcm)
b) Chứng minh FB là tia phân giác của góc EFN:
Ta có:
( hai góc nội tiếp cùng chắn
của đường tròn đường kính BC)

( hai góc nội tiếp cùng chắn
của đường tròn đường kính HC)
Suy ra:
. Vậy FB là tia phân giác của góc EFN (đpcm)
c) Giả sử AH = BC. Tính số đo góc BAC của tam giác ABC :

FAH và
FBC có:


AH = BC (gt)

(cùng phụ
)
Vậy
FAH =
FBC (cạnh huyền- góc nhọn). Suy ra: FA = FB.

AFB vuông tại F; FA = FB nên vuông cân. Do đó

Bài tương tự: (Các em tự giải)
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cát nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.
b) Chứng minh AD. AC = AE. AB.
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA
DE.
d) Cho biết OA = R ,
. Tính BH. BD + CH. CE theo R
Bài 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia AB lấy điểm D nằm ngoài
đoạn AB và kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) ( C là tiếp điểm ). Gọi
E là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường thẳng CD và F là chân
đường vuông góc hạ từ D xuống đường thẳng AC. Chứng minh:
a) Tứ giác EFDA nội tiếp .
b) AF là phân giác của
.
c) Tam giác EFA và tam giác BDC đồng dạng .
d) Các tam giác ACD và ABF có cùng diện tích .
( Trích đề thi tốt nghiệp và xét tuyển vào lớp 10- năm học 2000- 2001)
BÀI GIẢI
a) Chứng minh tứ giác EFDA nội tiếp:
Ta có:
(gt)
Hai đỉnh E và F cùng nhìn AD dưới góc 900 nên tứ giác
EFDA nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh AF là phân giác của
:
Ta có :

. Vậy
( so le trong)
Tam giác AOC cân ở O (vì OA = OC = R) nên

Do đó:
. Vậy AF là phân giác của góc EAD (đpcm)
c) Chứng minh tam giác EFA và tam giác BDC đồng dạng:


EFA và
BDC có :

(hai góc nội tiếp cùng chắn
của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFDA)

. Vậy
EFA và
BDC đồng dạng (góc- góc)
d) Chứng minh các tam giác ACD và ABF có cùng diện tích:
SACD =
và SABF =
. (1)
BC // DF (cùng
AF) nên :
hay DF. AC = BC.AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra : SACD = SABF (đpcm) (Lưu ý: có thể giải 2 cách khác nữa)

Bài 3. Cho tam giác ABC (
) nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O
đường kính AB. Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và gọi H là
chân đường vuông góc kẻ từ A đến tiếp tuyến đó. AH cắt đường tròn
(O) tại M ( M ( A) . Đường vuông góc với AC kẻ từ M cắt AC tại K và
AB tại P.
a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp .
b) Chứng minh (MAP cân .
c) Tìm điều kiện của (ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng.
BÀI GIẢI
a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp:
Ta có :
(gt),
(gt)
Tứ giác MKCH có tổng hai góc đối nhau bằng 1800 nên