Bai 5.Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
CHÙM MẶT PHẲNG
1. Một số quy ước và kí hiệu
Hai bộ n số (A1 ; A2; ...; An) và (A’1; A’2; ...; A’n) được gọi là tỉ lệ với nhau nếu có số t  0 sao cho A1 = tA’1, A2 = tA’2, ... An = tA’n.
Khi hai bộ số (A1 ; A2; ...; An) và (A’1; A’2; ...; A’n) tỉ lệ với nhau ta kí hiệu: A1 : A2 : ... : An = A’1 : A’2 : ... : A’n.
Ví dụ: hai bộ 4 số (2 ; 4; 0; -6) và (1; 2; 0; -3) là tỉ lệ với nhau (giá trị t trong trường hợp này là t = ).
Ví dụ: 2 : 4: 0: -6 = 1: 2: 0: -3.
Nếu hai bộ số (A1 ; A2; ...; An) và (A’1; A’2; ...; A’n) không tỉ lệ, ta kí hiệu: A1 : A2 : ... : An  A’1 : A’2 : ... : A’n.
2
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
CHÙM MẶT PHẲNG
2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng () và (’) có phương trình tổng quát lần lượt là:
() : Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (1’)
()  (.’)
Cho hai mặt phẳng trong không gian thì giữa chúng có những vị trí tương đối nào?
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
CHÙM MẶT PHẲNG
2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng () và (’) có phương trình tổng quát lần lượt là:
() : Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (1’)
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
CHÙM MẶT PHẲNG
2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng () và (’) có phương trình tổng quát lần lượt là:
() : Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (1’)
+ () cắt (’)  A : B : C  A’ : B’ : C’.
Ta có:
Ví dụ. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
a) x + 2y – z + 5 = 0 và 2x + 3y – 7z – 4 = 0
b) x - 2y – z + 3 = 0 và 2x - y + 4z – 2 = 0
c) x + y + z - 1 = 0 và 2x + 2y - 2z + 3 = 0
d) 3x - 2y - 3z + 5 = 0 và 9x - 6y - 9z - 5 = 0
e) x - y + 2z - 4 = 0 và 10x - 10y + 20z - 40 = 0
cắt nhau
cắt nhau
cắt nhau
song song
trùng nhau
Có: 1: 2: -1  2: 3: -7
Có: 1: -2: -1  2: -1: 4
Có: 1: 1: 1  2: 2: -2
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
CHÙM MẶT PHẲNG
3. Chùm mặt phẳng
() : Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (1’)
Cho hai mặt phẳng () và (’) cắt nhau có phương trình :
a) Định lí. Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của () và (’) đều có phương trình dạng:
(Ax + By + Cz + D) + (A’x + B’y + C’z +D’) = 0, 2 + 2 0 (2)
Ngược lại mỗi phương trình dạng (2) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao tuyến của () và (’).
b) Định nghĩa. Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng () và (’) gọi là một chùm mặt phẳng.
Phương trình (2) gọi là phương trình của chùm mặt phẳng.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
CHÙM MẶT PHẲNG
c. Ví dụ
Cho ba mặt phẳng (1), (2), (3) lần lượt có phương trình:
(1) : 2x – y + z + 1 = 0
(2) : x + 3y – z + 2 = 0
(3) : -2x + 2y + 3z + 3 = 0
1) Chứng minh rằng (1) cắt (2).
Giải:
(1) cắt (2) vì 2 : -1 : 1  1 : 3 : - 1.
Nhận xét mối quan hệ của hai vec tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng?
c. Ví dụ
Cho ba mặt phẳng (1), (2), (3) lần lượt có phương trình:
(1) : 2x – y + z + 1 = 0
(2) : x + 3y – z + 2 = 0
(3) : -2x + 2y + 3z + 3 = 0
2) Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (1) và (2) và qua điểm M0(1 ; 2 ; 1).
Giải:
Phương trình mặt phẳng () có dạng:
(2x – y + z + 1) + (x + 3y – z + 2) = 0 (2 + 2  0 )
 (2 + )x + (- + 3)y + ( - )z +  + 2 = 0
Điểm M0= (1 ; 2; 1)  () nên:
(2 + )1 + (- + 3)2 + ( - )1 +  + 2 = 0
Chọn  = 4,  = -1 ta được phương trình của () là:
7x – 7y + 5z + 2 = 0
 2 + 8 = 0.
Phương trình mặt phẳng () có dạng như thế nào?

c. Ví dụ
Cho ba mặt phẳng (1), (2), (3) lần lượt có phương trình:
(1) : 2x – y + z + 1 = 0
(2) : x + 3y – z + 2 = 0
(3) : -2x + 2y + 3z + 3 = 0
3) Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (1) và (2) và song song với trục Oy.
Giải:
Phương trình mặt phẳng () có dạng:
(2x – y + z + 1) + (x + 3y – z + 2) = 0
 (2 + )x + (- + 3)y + ( - )z +  + 2 = 0 (*)
Vì () song song với Oy nên hệ số của y trong (*) phải bằng 0, hay - + 3 = 0.
Chọn  = 3,  = 1 ta được phương trình của () là:
7x + 2z + 5 = 0
c. Ví dụ
Cho ba mặt phẳng (1), (2), (3) lần lượt có phương trình:
(1) : 2x – y + z + 1 = 0
(2) : x + 3y – z + 2 = 0
(3) : -2x + 2y + 3z + 3 = 0
4) Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (1) và (2) và vuông góc với mặt phẳng (3).
Giải:
Phương trình mặt phẳng () có dạng:
(2 + )x + (- + 3)y + ( - )z +  + 2 = 0 (*)
()  (3) 
 -3 +  = 0.
5x + 8y – 2z + 7 = 0
 (2 + ).(-2) + (- + 3).2 + ( - ).3 = 0
Chọn  = 1,  = 3 ta có pt mp ():
CỦNG CỐ
Qua bài này các em cần nắm được:
+ Các vị trí tương đối của hai mặt phẳng và cách xét.
+ Khái niệm chùm mặt phẳng và ứng dụng trong bài toán viết phương trình mặt phẳng.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Xem lại các ví dụ đã chữa và làm các bài tập trong GSK trang 87 – 88.