Bài 4 phương trình đường tròn

Sau khi học xong bài này các em cần nắm:
Khái niệm mặt cầu , mặt phẳng kính , đường tròn lớn ,mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu , tiếp tuyến cảu mặt cầu
Biết công thức tính diện tích mặt cầu
Kiểm tra bài cũ:
Cho đường thẳng d và đường tròn (O;R) .Nêu các vị trí tương đối của d và (O,R)(4 điểm)
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) .Vẽ các tiếp tuyến từ A đến đường tròn.Có bao nhiêu tiếp tuyến .( 4 điểm)
Đáp án :
1)Có 3 trường hợp
d và (O;R) không có điểm chung
d cắt (O;R) tại 2 điểm phân biệt
d tiếp xúc (O;R) tại tiếp điểm

2)


BàI 1: mặt cầu, KH?I C?U
1.Định nghĩa:
* Cho một điểm O cố định và một số thực dương R . Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng cho trước bằng R được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R.
i/ D?NH NGHIA M?T C?U:
KÝ hiÖu:
Em hãy quan sát hình 3 quả bóng trong sgk . Bề ngoài của những quả bóng này cho ta hình ảnh về một mặt cầu.vậy theo em thế nào là một mặt cầu ?
O.
m
m
Cho (O;R) và lấy 2 điểm A và B trên đường tròn thì OA ,OB ,AB được gọi là gì ?
OA, OB được gọi là bán kính
AB được gọi là đường kính
A
B
O.
m
C
2) CÁC THUẬT NGỮ
a) Cho S(O;R) và một điểm A bất kỳ:
* OA=R: A nằm trên mặt cầu và OA: bán kinh mặt cầu
* OA > R: A nằm ngoài mặt cầu.

* OA
Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho A, O, B thẳng hàng thì đoạn thẳng AB được gọi là đường kính của mặt cầu
.
A
B
o
Một mặt cầu được hoàn toàn xác định nếu biết tâm và bán kính hoặc biết một đường kính.

b) Chú ý
C)T?p h?p cỏc di?m thu?c m?t c?u S(O;R) cựng v?i cỏc di?m n?m trong m?t c?u g?i l� kh?i c?u S(O;R) ho?c hỡnh c?u S(O;R)
O.
o
A
m
b
i
3/ các ví dụ :
Vớ d? 1: Cho hai di?m A v� B c? d?nh . Ch?ng minh r?ng t?p h?p cỏc di?m M sao cho MA.MB o l� m?t c?u du?ng kớnh AB
GIẢI
GỌI I là trung điểm của AB ta có
MA .MB = ( MI + IA ). ( MI +IB)
= ( MI + IA ). ( MI -IA)
= MI2 – IA2
Suy ra MA.MB = 0 khi và chỉ khi MI = IA = IB
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I bán kính R = IA , tức là mặt cầu đường kính AB
VÍ DỤ 2
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a .Tìm tập hợp các điểm M sao cho
MA2 + MB 2 + MC2 + MD2 = 2a2
HƯỚNG DẪN
Em hãy nhận xét về AB2 và AB2
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì
MA 2 +MB2 + MC2 + MD2 =MA 2 +MB2 + MC2 + MD2

Chen điểm G vào ta được gì ?
Hãy khai triển và rút gọn biểu thức
Kết hợp kết quả trên với đẳng thức đã cho trong biểu thức ta được gì ?
Hãy phát biểu kết quả của bài toán
I.
NHƯ VẬY SỰ KHÁC BIỆT GIỮA VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT ĐIỂM VÀ MỘT MẶT CẦU VỚI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT ĐIỂM VÀ MỘT ĐƯỜNG TRÒN LÀ GÌ?
Ta có bảng so sánh sau
HÌNH HỌC PHẲNG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Vị trí tương đối của một điểm với một đường tròn :
Vị trí tương đối của một điểm với một mặt cầu :
Điểm B nằm trong đường tròn  OB < R
Cho đường tròn (O;R)
Điểm M nằm trên đường tròn  OM = R
Điểm A nằm ngoài đường tròn  OA > R
Vị trí tương đối của một đường thẳng với một đường tròn :
Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng  và so sánh OH với R
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng 
Cho mặt cầu S(O;R)
Điểm B nằm trong mặt cầu  OB < R
Điểm M nằm trên mặt cầu  OM = R
Điểm A nằm ngoài mặt cầu  OA > R
một mặt cầu với một mặt phẳng và một mặt cầu với một đường thẳng có vị trí tương đối như thế nào ?
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và (P)
P
O
R
.
Theo em có những vị trí tương đối nào xảy ra giữa mặt cầu và một mặt phẳng
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và (P)
P
R
.
O
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và (P)
P
.
.
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và (P)
P
O
R
.
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và (P)
P
O
R
.
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và (P)
P
O
R
.
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và (P)
P
O
R
.
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và (P)
P
O
H
.
.
R
.
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và (P)
P
.
O
R
.
O
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và (P)
P
O
H
.
.
Gọi H là hình chiếu của O trên (P) và so sánh OH với R
Trường hợp 1: OH > R
 M  (P)  OM ≥ OH > R  M  S(O;R)
 (S)  (P) = 
.
M
Trường hợp 2: OH = R
Vậy OH >R  (S)  (P) = 
R
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
P
O
.
.
.
H
Trường hợp 2: OH = R
Cho mặt cầu S(O;R) và (P)
Gọi H là hình chiếu của O trên (P) và so sánh OH với R
R
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
P
O
.
.
.
H
Trường hợp 2: OH = R
Cho mặt cầu S(O;R) và (P)
Gọi H là hình chiếu của O trên (P) và so sánh OH với R
R
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
P
.
.
.
O
Trường hợp 2: OH = R
Cho mặt cầu S(O;R) và (P)
Gọi H là hình chiếu của O trên (P) và so sánh OH với R
H
R
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
P
.
O
H
.
.
M
 M  (P) và M  H  OM > OH = R  M  S(O;R)  (S)  (P) = { H }
Vậy OH = R  (S)  (P) = { H }
 (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại H
H gọi là tiếp điểm của (S) và (P)
(P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)
Trường hợp 3: OH < R
OH = R  H  S(O;R)
Trường hợp 2: OH = R
Cho mặt cầu S(O;R) và (P)
Gọi H là hình chiếu của O trên (P) và so sánh OH với R
R
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
P
.
O
.
.
H
Trường hợp 3: OH < R
Cho mặt cầu S(O;R) và (P)
Gọi H là hình chiếu của O trên (P) và so sánh OH với R
M  S(O;R)  (P)
 M C(H;r) ( (C) là đường tròn tâm H, bán kính r, nằm trong mp (P) )
.
M
r
(là số không đổi)
Chú ý: Khi OH=0 O(P) và (S)(P)=C(O;R)
C (O;R) gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(O;R)
R
Vậy OHII.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
Các mệnh đề sau đúng hay sai ?
a) BC là một đường kính của mặt cầu (S)
b) BC là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi (S) và mp(ABC)
c) Khoảng cách từ O đến (ABC) là 6cm
Sai
Đúng
Sai
Cho các kết quả:
Xét xem câu nào sau đây là đúng:
a)Chỉ có II đúng
b)Chỉ có III đúng
c)Chỉ có II và III đúng
d) Các kết quả trên đều đúng
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
III.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ và mặt cầu S(O;R)
∆
H
.
O
R
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
III.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ và mặt cầu S(O;R)
∆
H
.
O
R
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
III.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ và mặt cầu S(O;R)
∆
H
.
O
R
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
III.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ và mặt cầu S(O;R)
∆
H
.
O
R
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
III.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ và mặt cầu S(O;R)
∆
H
O
.
R
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
III.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ và mặt cầu S(O;R)
∆
H
R
H
.
O
R
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
III.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ và mặt cầu S(O;R)
∆
R
H
O
.
R
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
III.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ và mặt cầu S(O;R)
Gọi H là hình chiếu của O trên ∆ và so sánh OH với R
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và Δ
∆
H
.
O
R
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
III.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một đường thẳng
Trường hợp 1: OH > R
∆  (C) =
∆  (S) =
Trường hợp 2: OH = R
Trường hợp 3: OH < R
∆  (C) = { H }
∆  (S) = { H }
∆  (C) = { A,B}
∆  (S) = { A,B }
Đường thẳng Δ tiếp xúc với (S) tại H
H gọi là tiếp điểm
Δ gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S),
∆
H
R
.
O
(C)
∆
H
R
.
O
A
B
(C)
P
P
P
Chú ý: khi O thì ∆  (S) = { A,B }
và AB là đường kính của mặt cầu
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
III.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một đường thẳng
Có thể xác định được mặt cầu đi qua ba điểm thẳng hàng không?
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
III.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một đường thẳng
∆
O
.
H
.
.
A
B
a) Khoảng cách từ O đến đường thẳng Δ là:


Ví dụ 3: Cho mặt cầu S(O;R) và A(S). Đường thẳng  đi qua A và tạo với đường thẳng OA một góc 300.
b) Độ dài đoạn AB là:
4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Ta định nghĩa diện tích hình đa diện là tổng diện tích các mặt của nó
Cho mặt cầu đường kính AB .Mỗi nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB cắt mặt cầu theo một nửa đường tròn đường kính AB .Ta gọi các nửa đường tròn đó là các kinh tuyến ứng ứng với đường kính AB
Mỗi mặt phẳng vuông góc với AB nếu cắt mặt cầu theo một đường tròn thì đường tròn đó được gọi là vĩ tuyến ứng với đường kính AB
Lấy một kinh tuyến và vĩ tuyến ứng với đường kính AB của mặt cầu . Chúng chia mặt cầu thành nhiều mảnh , có thể gọi mỗi mảnh đó là một “tứ giác cầu “( đặc biệt có thể là” tam giác cầu”).
Ta có thể thấy rằng bốn đỉnh của một “ tứ giác cầu “ nằm trên một mặt phẳng và do đó cũng là 4 đỉnh của một tứ giác phẳng ( đúng ra là hình thang cân ) mà ta gọi là “ xấp xỉ phẳng “ của tứ giác cầu đang xét.Tương tự mỗi tam giác cầu cũng có xấp xỉ phẳng là một tam giác cân .Tập hợp các xấp xỉ phẳng của tứ giác cầu và tam giác cầu là thành một hình đa diện D nội tiếp mặt cầu . Hình đa diện D được gọi là đa diện xấp xỉ của mặt cầu .
Người ta chứng minh được rằng :
1) Khi độ dài các cạnh của D tiến tới 0 thì diện tích của hình đa diện D tiến tới một diện tích xác định .Giới hạn đó được gọi là diện tích của mặt cầu
2) Khi độ dài các cạnh của D tiến tới 0 thì thể tích của khối đa diện D tiến tới một giới hạn xác định . Giới hạn đó được gọi là thể tích của khối cầu
Các công thức
Mặt cầu bán kính R có diện tích là
S= 4πR2
Khối cầu bán kính R có thể tích là
V = πR3


3
P
O
R
OH > R
O
H
(P)  (S) = 
OH = R
(P)  (S) = { H }
Khi (P) đi qua O thì đường tròn ( C ) là đường tròn lớn tâm O ,bán kính là R
(P)  (S) = ( C )
OH < R
H
M
r
.
.
P
CỦNG CỐ BÀI
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
(C ) là đường tròn tâm H,bán kính r ,nằm trên (P)
P
.
O
H
.
R
II.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng
III.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một đường thẳng
OH > R
∆  (S) =
OH = R
OH < R
∆  (S) = { H }
∆  (S) = { A,B }
Đường thẳng Δ tiếp xúc với (S) tại H
Δ gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S),
H gọi là tiếp điểm
∆
H
R
.
O
(C)
P
P
P
CỦNG CỐ BÀI
TR?C NGHI?M
1) Chọn đáp án đúng:
a. Mọi mặt phẳng đi qua M nằm trong mặt cầu (S) đều cắt (S) theo 1 đường tròn.
b. Có duy nhất một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H ??(S).
c. Mọi đường thẳng nằm trong tiếp diện của mặt cầu đều là tiếp tuyến của mặt cầu.
d. Mặt phẳng (P) là tiếp diện của 1 mặt cầu nếu chúng có nhiều nhất 1 điểm chung.
2) Qua 1 điểm không nằm ở miền trong mặt cầu, có bao nhiêu
tiếp tuyến với mặt cầu
a. 1 b. 2 c. 3 d. vô số.
3) Qua 1 đường thẳng không có điểm chung với mặt cầu có bao
nhiêu tiếp diện của mặt cầu.
a. 1 b. 2 c. 3 d. vô số.
4) Có bao nhiêu mặt cầu đi qua 2 điểm phân biệt A, B?
a. 1 b. 2 c. vô số d. 3
Có bao nhiêu mặt cầu đi qua 1 đường tròn cho trước
a. vô số b. 2 c. 1 d. 3

Xin chân thành cảm ơn !