Bài 3: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
H
ÌNH HỌC
11
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
TRƯỜNG THPT BC TÂN PHÚ THẠNH
Câu 1: Từ 1 điểm nằm ngoài mặt cầu ta có thể dựng bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu ?
Câu 2 : Từ một điểm A nằm ngoài mặt cầu ta kẻ các tiếp tuyến với mặt cầu , thì khoảng cách từ A đến các tiếp điểm của chúng trên mặt cầu như thế nào ?
 Ồ ! Sai rồi , có vô số mới đúng.
 Ah ! Đúng rồi, chúc mừng em.
 Ồ ! Sai rồi, bằng nhau mới đúng.
BÀI 3: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP VÀ LĂNG TRỤ
O
I’
A’1
A’2
A’4
A3
1. Định nghĩa:
A1
Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình chóp (hoặc lăng trụ) nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp đó (hoặc lăng trụ).
I
S
A2
A3
A4
O
d
A’3
A2
A4
A1
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy một góc .Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Ví dụ 1:
M
O’
S
A
B
C
0
N
a
a/2
Giải
+Gọi O là tâm của tam giác ABC
 S0 ⊥(ABC)
+ Vì O cách đều A,B,C nên mọi điểm nằm trên SO đều cách đều A, B, C
+ Trong (SAO) gọi O’M là đường trung trực của SA
 O’A = O’S
B
M
O’
S
A
C
0
N
Ta có : SMO’ ≈  SOA
 R = SO’ = SA2 / 2.SO
+ Gọi N là trung điểm của BC nên ON ⊥BC và SN ⊥BC
do đó: O’A = O’S =O’B = O’C = R
Vậy mặt cầu S(O’,R) ngoại tiếp S.ABCD
B
Ta có :
Do ΔABC đều có cạnh bằng a
nên
và
nên
Vậy
Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau đôi một và có độ dài lần lượt là a, b, c. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Ví dụ 2:
A
M
B
N
O
x
S
C
c/2
a
b
Gọi M là trung điểm AB
Khi đó Mx // SC
Gọi
là mp trực của SC và
Do đó OC = OS = OA = OB
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABCD
Giải
Dựng
Bán kính R = OB
C
A
B
O
 Tâm của một tam giác là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
Cách giải bài toán tìm tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ( hoặc lăng trụ)
 Để xác định tâm O ta thường sử dụng trục của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy và một mặt phẳng trung trực của một cạnh bên
 Bán kính R là khoảng cách từ tâm đến một đỉnh.

Bài 1: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b.
Giải
Gọi H là tâm  ABC SH là trục của  ABC
Trong mp (SAH) dựng
đường trung trực của SA
cắt SA tại I và SH tại O.
Vậy O là tâm mặt cầu
ngoại tiếp S.ABCD
Tính bán kính R = SO
 Ta có nên
 Ta có
Vậy
A
B
S
C
N
M
I
O
H
Bài 2: Hình chóp SABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Giải

* Gọi H là tâm của  ABC
* Gọi d là đường
thẳng ⊥ (ABC) tại H
nên d là trục của ABC.
* Gọi (P) là mặt phẳng
trung trực của SA cắt SA
tại I và d tại O

* Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC

* Bán kính R = OA =
C
H
A
B
I
M
N
S
O
d
P
a
a
a
Câu 3: Một hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chứng minh rằng hình chóp đó có mặt cầu ngoại tiếp. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.
Giải:
* Kẻ SH ⊥(ABCD)
Do SA = SB = SC = SD
Nên
HA = HB = HC = HD =
 ABCD là hình vuông
* Ta có :
HA = HB = HC = HD =


B

Vậy HA = HB = HC = HD = HS =

Nên H là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD và bán kính mặt cầu là

R =
H
B
A
D
S
C
a
a
a
Bài 4: Chứng minh rằng hình chóp có 4 cạnh bên bằng nhau thì có mặt cầu ngoại tiếp.
Giải
* Xét hình chóp S.A1A2…An.
Gọi H là hình chiếu của
S lên (ABC).
* Do SA1 = SA2 =......= SAn
Nên HA1 = HA2 =......= HAn
Vậy đa giác đáy nội tiếp đường tròn tâm H và SH là trục đường tròn này.
Dựng mp trung trực của cạnh bên cắt SH tại O thì.
OA1 = OA2 = ….Oan = OS. Vậy O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp đa giác S.A1A2 …An
A1
A3
A2
A6
A4
A1
S
A5
H
O