Bài 3 HH Của Dương Thế Nam

Bài toán phụ 1. Cho (O) và (I) tiếp xúc trong tại A. Dây AC, AE của (O) cắt (I) tại B, D. Chứng minh BD // EC.
/
Vẽ tiếp tuyến chung tại A của (I) và (O) ta có góc ABC = góc ACE = góc xAE suy ra BD//EC
Bài toán phụ 2. Cho (O) và (I) tiếp xúc trong tại T. Hai điểm A, B thuộc (O). Gọi AE và BF là hai tiếp tuyến của (I). Chứng minh:


/
Gọi A’ và B’ là giao điểm của TA và TB với (I) suy ra AE2 = AA’.AT. Theo bài toán 1 ta có A’B’ // AB theo định lý Talet suy ra
do đó ta có:

Bài toán phụ 3(Định lý Menelaus).
Cho ba điểm A’, B’ và C’ lần lượt nằm trên ba đường thẳng chứa ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC sao cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng hai điểm thuộc cạnh tam giác ABC. Khi đó A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi


(Định lý này nhiều tài liệu đã chứng minh)
/


Bài 3: Cho đường tròn (O) lấy hai điểm A, M (dây AM khác đường kính). Điểm I trên đoạn OA (I khác O và A). Đường tròn (I; IA) cắt đường tròn đường kính IM tại B và C. Các tia MB, MI, MC lần lượt cắt (O) theo thứ tự tại D, E và F. Đường thẳng DF cắt MA, ME, AE theo thứ tự tại S, T và Q. Chứng minh rằng :
SD.SF = ST.SQ
Ba điểm B, C, Q thẳng hàng.
/
a) Từ giả thiết đường tròn đường kính IM và đường tròn tâm I bán kính IA cắt nhau tại B và C nên MI là trung trực của BC nên ME là tia phân giác của góc DMF suy ra cung DE = cung EF do đó góc AQS = góc SMT nên tam giác AQS đồng dạng với tam giác TMS suy ra TS.SQ = AS.MS
Mà S nằm trong (O) nên AS.MS = DS.SF suy ra SD.SF = ST.SQ
b) Theo câu a ta có MD và MF là tiếp tuyến của (I,IA). Theo bài toán 2 ta có
.
Mặt khác ta có E là điểm chính giữa cung DF nên ta suy ra được AQ là phân giác ngoài của tam giác ADF nên ta có:
do MD,MF là hai tiếp tuyến của (I;IA) suy ra MB = MC suy ra

Theo định lý Menelaus ta có 3 điểm Q, B, C thẳng hàng.