Bài 1 : Đơn điệu của hàm số

Bài 1 :
Giáo viên :
Phạm Quốc Khánh
Chương trình thay sách Toán THPT của Bộ GD-ĐT
I - TÍNH ĐƠN ĐiỆU CỦA HÀM SỐ
Đặt vấn đề :
Hãy chỉ ra các khoảng tăng giảm của hàm số :
a) Hàm số : y = cosx trên đoạn
O
x
y
|
|
|
|
_ 1
_ -1
y = cosx
Nhìn đồ thị hàm số có các đoạn đồ thị
Đồng biến :
V
Nghịch biến :
Tiếp mục b )
b) Hàm số : y = | x | trên đoạn (-∞ ; + ∞)
O
x
y
|
|
_ 1
1
- 1
Đồng biến :
(0 ; + ∞ )
Nghịch biến : (- ∞ ; 0)
1. Nhắc lại định nghĩa :
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mỗi cặp x1 ; x2 thuộc K thõa :
x1 < x2  f(x1) < f(x2)
b) Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mỗi cặp x1 ; x2 thuộc K thõa :
x1 < x2  f(x1) > f(x2)
* Hàm số y = f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi : hàm số đơn điệu trên K
Chú ý :
1. Dùng để chứng minh :
Đồng biến :
Nghịch biến :
2. Đồ thị đồng biến đi lên từ trái qua phải ; nghịch biến đi trên xuống trái qua phải .
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm :
Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng :
x
- ∞
0
+ ∞
y’
y
0
- ∞
- ∞
x
- ∞
0
+ ∞
y’
y
0
- ∞
+ ∞
0
Đồ thị
O
x
y
O
x
y
Hãy nêu nhận xét về quan hệ giữa đồng , nghịch biến và dấu của đạo hàm
+



+

Thừa nhận định lý sau :
Định lý : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K .
a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì f(x) đồng biến trên K .
b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì f(x) nghịch biến trên K .
*) Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc K thì f(x) không đổi trên K .
Ví dụ 1 .
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số :
a) y = 2x4 + 1 b) y = sinx trên (0 ; 2)
Giải :
a) Hàm số xác định với mọi x  R . ; y’ = 8x3
Bảng biến thiên :
x
- ∞
+ ∞
y’
y
0
0
1
+ ∞
+ ∞
+

Vậy hàm số y = 2x4 + 1
Giải :
b) Xét hàm số trên khoảng x  (0 ; 2) . ; y’ = cosx
Bảng biến thiên :
x
y’= cox
y = sinx
0
1
Vậy hàm số y = sin x
0
0
- 1
0
0
+

+
Chú ý :
Điều ngược lại : Hàm số đồng biến (Nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó có dương (âm) trên đó hay không ?
Ví dụ hàm số y = x3 là luôn đồng biến trên R
Đồ thị của nó là
Có Định lý mở rộng :
Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K . Nếu f(x) ≥ 0 ( f(x) ≤ 0) thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K
Ví dụ 2 :
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số : y = – 2x3 – 6x2 – 6x + 7
Hàm số xác định với mọi x  R . ; y’ = – 6x2 – 12x – 6 = - 6 (x + 1 )2
Do đó y’ = 0  x = - 1 và y’ < 0 với mọi x ≠ - 1
Vậy theo định lý mở rộng : hàm số luôn luôn nghịch biến trên R
II - QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐiỆU CỦA HÀM SỐ
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo hàm f’(x) . Tìm các xj mà tại đó f’(xj) = 0 hoặc không xác định
3. Lập bảng biến thiên
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số
Ví dụ 3 .
Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số :
Giải :
Hàm số xác định với mọi x  R . ; y’ = x2 – x – 2
y’ = 0 
Bảng biến thiên :
x
- ∞
+ ∞
y’
y
-1
2
0
0
+

+
- ∞
+ ∞
Vậy hàm số :
Đồng biến :
Nghịch biến :
Ví dụ 4 .
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số :
Giải :
Hàm số xác định với mọi x ≠ - 1
Bảng biến thiên :
x
- ∞
+ ∞
y’
y
-1
+
+
+ ∞
1
Vậy hàm số :
Đồng biến :
y’ không xác định tại x = - 1
1
Ví dụ 5.
Chứng minh rằng x > sin x trên khoảng
Giải :
Xét hàm số f(x) = x – sin x trên
và f’(x) = 0 tại x = 0
Bằng cách xét khoảng đơn điệu của hàm số : f(x) = x - sinx
Vậy vơi mọi x 
Thì f(x) = x – sinx > f(0) = 0
Do đó có đpcm .
Ví dụ trắc nghiệm
Hàm số :
đồng biến trên :
A
R
B
(- ∞ ; 3)
C
(-3 ; + ∞)
D
R{-3}
Bài tập về nhà :
Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 trang 9 và 10 sgk GiẢI TÍCH 12
Click vô A ; B ; C ; D để chọn đáp án đúng
Khi tải về vào : Silide Transition / Custom Animation / Start : on click
Để hiệu chỉnh và thay đổi theo ý thích – Chúc thành công