Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Áp dụng đạo hàm khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số









Nội dung
Nội dung
I. Tóm tắt lý thuyết
II. Các ví dụ
III. Bài tập luyện tập
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
I. Tóm tắt lý thuyết
1) Hàm số đơn điệu.
Cho hàm số f xác định trên I, trong đó I là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng
Hàm số f đồng biến trên I nếu với mọi x1, x2 I, x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).
Hàm số f nghịch biến trên I nếu với mọi x1, x2  I, x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi chung là
hàm đơn điệu trên khoảng đó.
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
I. Tóm tắt lý thuyết (tt)
2) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó:
Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x  I và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I.
Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x  I và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I.
Nếu f’(x) = 0 với mọi x  I thì hàm số không đổi trên I.
Giả sử hàm số liên tục trên nửa khoảng [a; b) và có đạo hàm trên khoảng (a; b).
Nếu f’(x) > 0 (hoặc f’(x) < 0) với mọi x  (a; b) thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên nửa khoảng [a; b).
Nếu f’(x) = 0 với mọi x  (a; b) thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a; b).
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Các ví dụ - Ví dụ 1
Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên R.
Giải
Tập xác định của hàm số là R.



Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên R.
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Các ví dụ (tt) - Ví dụ 2
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

Giải
a. Tập xác định của hàm số là D = (-∞ ; - 1) U (-1; +∞).

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞).
b. Tập xác định của hàm số là D = (0; +∞).

Vì hàm lnx là hàm số đồng biến, nên
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Các ví dụ (tt) - Ví dụ 3
Xét tính đơn điệu của các hàm số:

Giải
a. Tập xác định của hàm số là R.


Bảng biến thiên




Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Các ví dụ (tt) - Ví dụ 3 (tt)
b. Tập xác định của hàm số là D = (0 ; 1) U (1 ; + ∞).

Vì hàm lnx là hàm đồng biến, nên lnx – 1 > 0 với mọi x > e và lnx – 1 < 0 với mọi 0 < x < e.
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (0;1) và (1; e), đồng biến trên khoảng (e; +∞).
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Các ví dụ (tt) - Ví dụ 4
Chứng minh rằng hàm số f(x) = x – tanx nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Giải
Các khoảng xác định của hàm số là
, dấu đẳng thức xảy ra khi x = kπ.
Vậy trong mỗi khoảng xác định hàm số f(x) luôn nghịch biến.
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Các ví dụ (tt) - Ví dụ 5: Khảo sát sự biến thiên của các hàm số


Giải
a. Ta có f’(x) = 1 – cosx ≥ 0 với mọi x  R. Do đó hàm số f(x) luôn đồng biến.
b. Ta có g’(x) = x – sinx .
Theo câu a) thì hàm số f(x) = x – sinx luôn đồng biến trên R, nên:
g’(x)  g’(0) = 0,với mọi x  0.
Vậy hàm số g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +).
c.
Theo câu b) thì hàm số g(x) = h’(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +), nên h’(x)  h’(0) = 0 với mọi x  [0; +). Do đó hàm h(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +).
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Các ví dụ (tt) - Ví dụ 6
Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên khoảng

Giải

Đặt g(x) = (6 – 3x2)sinx – (6x – x3)cosx, được xác định trên nửa khoảng
Ta có: g’(x) = - 6xsinx + (6 – 3x2)cosx – (6 – 3x2)cosx + (6x – x3)sinx.
g’(x) = - x3sinx.
Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên nửa khoảng
Theo (*) suy ra f’(x) < 0 với mọi , tức là f(x) là hàm nghịch biến trên khoảng
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Các ví dụ (tt) - Ví dụ 7
Chứng minh rằng hàm số luôn đồng biến.
Giải
Hàm số xác định với những giá trị của x thỏa mãn:



Do đó tập xác định của hàm số là R.




Vậy hàm số luôn đồng biến trên R.
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Các ví dụ (tt) - Ví dụ 8
Xác định a để hàm số luôn đồng biến.
Giải
Hàm số xác định trên R.
là hàm số bậc hai, nên f’(x) triệt tiêu tại không quá hai giá trị của x. Suy ra hàm số f(x) luôn đồng biến khi và chỉ khi:


Vậy để hàm số luôn đồng biến thì
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Các ví dụ (tt) - Ví dụ 9
Tùy theo các giá trị của m, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số:

Giải
Tập xác định của hàm số là R.
Ta có f’(x) = 8x2 + 2(m + 2)x + m là tam thức bậc hai có:
∆’ = (m + 2)2 – 8m = (m – 2)2.
Trường hợp 1: ∆’ = 0  m = 2, khi đó f’(x) = 2(2x + 1)2  0  x nên hàm số luôn đồng biến trên R.
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Các ví dụ (tt) - Ví dụ 9 (tt)
Trường hợp 2: ∆’ > 0  m  2, thì f’(x) = 0




*) Khả năng 1:
Bảng biến thiên:
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Các ví dụ (tt) - Ví dụ 9(tt)
*) Khả năng 2:
Bảng biến thiên:




Kết luận:
- Với m < 2, thì hàm số đồng biến trên các khoảng nghịch biến trên khoảng
- Với m > 2, thì hàm số đồng biến trên các khoảng nghịch biến trên khoảng
- Với m = 2 hàm số luôn đồng biến trên R.
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
III. Bài tập luyện tập.
1. Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số:



2. Chứng minh rằng hàm số:
a. đồng biến với mọi x > 1.
b. nghịch biến trên khoảng
c. y = sinx + tanx – 2x đồng biến trên nửa khoảng
Áp dụng đạo hàm khảo sát
tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
III. Bài tập luyện tập (tt)
3. Tìm các giá trị m để hàm số luôn đồng biến.
4. Tùy theo các giá trị của m, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số.
y = 4x3 + (m + 3)x2 + mx +1.
5. Xác định m để hàm số luôn đồng biến.
6. Cho hàm số:

Hãy xác định tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng
(1; +).