Ánh xạ tuyến tính-Đại số

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính





Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh
Email : [email protected]
Website: www.tanbachkhoa.edu.vn
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I – Định nghĩa và ví dụ.
III – Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở
IV –Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng
II – Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I. Định nghĩa và ví dụ
------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
Cho V và W là hai không gian véctơ trên cùng trường số K.
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là ánh xạ tuyến tính.
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho E ={e1, e2, …, en} là tập sinh của V.
Giả sử biết f(e1), f(e2), …, f(en).
Ánh xạ tuyến tính được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một tập sinh của V.
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ánh xạ f được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một cơ sở của R3. Chọn cơ sở chính tắc
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyz quanh trục 0z một góc 30o ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương của trục 0z. Tìm f(x).
Ánh xạ f được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một cơ sở của R3.
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính là phép đối xứng trong không gian 0xyz qua mặt phẳng . Tìm f(x).
Tương tự ví dụ trước, đây là ánh xạ
Nếu chọn cơ sở chính tắc thì việc tìm ảnh qua mặt phẳng đã cho phức tạp. Ta chọn cơ sở của R3 là: pháp véctơ của mặt phẳng và cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng.
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kerf
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Imf
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của V.
2. Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của W.
3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V)
Chứng minh.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V)
Chứng minh.
Giả sử dim(Kerf) = m.
Vậy E2 là tập sinh của Imf.
1) E2 là tập sinh:
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Chứng minh E2 độc lập tuyến tính.
Suy ra E2 độc lập tuyến tính.
Vậy E2 là cơ sở của Imf.
dim(Imf ) = n.
Hay dim(Imf ) + dim(Kerf ) = m + n = dim(V).
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mệnh đề
Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của một tập sinh của V.
Chứng minh.
Vì x thuộc V nên x là thtt của E.
Ánh xạ f là tuyến tính nên ta có
Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các bước tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính.
Chú ý: a) Còn có nhiều cách giải khác.
b) Tùy theo đề bài mà ta chọn cơ sở (ở bước 1) phù hợp, để việc tìm ảnh của cơ sở đó nhanh.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy E={(2,-1,1)} là tập sinh và cũng là cơ sở của Kerf
dim(Kerf) = 1.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết
2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf.
Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R3.
Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:
Cơ sở: E={(1,1,1), (0,1,2)}
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết
1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf.
Cách 1(thường sử dụng).
Hệ thuần nhất
Cơ sở của Kerf E={(2,1,4)}, dim(Kerf) = 1.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ thuần nhất, giải ra có
Cơ sở của Kerf E={(2,1,4)}, dim(Kerf) = 1.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết
2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf.
Chọn cơ sở của R3 là
Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R3.
Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:
Cơ sở: E={(1,2,1), (0,1,1)}
Có thể tìm f(x) như ở ví dụ trước rồi tìm nhân và ảnh.
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyz quanh trục 0z một góc 30o ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương của trục 0z.
Tìm cơ sở và chiều của nhân và ảnh.
Ta giải bằng cách lập luận đơn giản sau:
Qua phép quay chỉ có mỗi véctơ 0 có ảnh bằng 0. Vậy nhân chứa một véctơ 0, dim(Kerf) = 0, không có cơ sở.
dim(kerf) + dim(Imf) = dim (R3). Suy ra dim(Imf) = 3
Vậy Imf = R3.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm một ánh xạ tuyến tính , biết
Chú ý: lời giải không duy nhất!
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính.
E = {e1, e2, …, en} là một cơ sở của V.
F = {f1, f2, …, fm} là một cơ sở của W.
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ánh xạ cho bởi
Ví dụ
Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở
Vậy ma trận cần tìm là
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý
Chú ý: Mỗi một ánh xạ tuyến tính tương ứng duy nhất một ma trận và ngược lại.
Ta coi ánh xạ tuyến tính là ma trận. Thông thường không phân biệt hai khái niệm này.
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bước 1. Tìm tọa độ của (3,1,5) trong cơ sở E:
Bước 3. Đổi tọa độ của ảnh cần tìm sang cơ sở chính tắc.
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} là
1. Tìm f (2,3,-1)
2. Tìm cơ sở và chiều của nhân Kerf.
Cách 1. Để tìm kerf, có thể tìm f(x) rồi làm tiếp.
Cách 2.
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)} là
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
1. Tính f (4,3, 5)
2. Tìm cơ sở và chiều của Imf.
VI. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hai cơ sở của kgvt V:
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cấu trúc ma trận P:
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)}
Trong R3 cho cặp cơ sở:
1. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang E’.
E’ = {(1,1,2); (1,2,1); (1,1,1)}
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử P là ma trận chuyển cơ sở từ E vào E’.
Q là ma trận chuyển cơ sở từ F vào F’.
A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E và F.
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
E
F
E’
F’
A
P
Q
Q-1AP
Tóm tắt slide vừa rồi trong sơ đồ như sau:
Chú ý: Q là ma trận chuyển cơ sở từ F sang F’, nên Q khả nghịch.
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử P là ma trận chuyển cơ sở từ E vào E’.
A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E.
E
E
E’
E’
A
P
P
P-1AP
Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở E = {(1,2,1); (1,1,2); (1,1,1)} là
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở chính tắc.
Giả sử ma trận chuyển cơ sở từ E sang F là P.
Tìm ma trận P lâu. Các cột của P là tọa độ của các các véctơ của F trong E.
Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở là
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm ma trận của f trong cơ sở
Giả sử ma trận chuyển cơ sở từ E sang F là P.
Tìm ma trận P. Các cột của P là tọa độ của các các véctơ của F trong E.
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------