Ánh xạ _ LT + VD

ÁNH XẠ
1. Ánh xạ:
a) Định nghĩa:
Cho hai tập hợp X vàY tùy ý khác

Một ánh xạ từ X đến Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của X với một và chỉ một phần tử y thuộc Y.
f: X
Y hay X
Y
x
y = f(x)
+ y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f
+ x gọi là tạo ảnh của y qua ánh xạ f
+ X gọi là tập nguồn, Y gọi là tập đích của ánh xạ f
b) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho X ={a; b; c; d}, Y = {0; 1; 2; 3}. Cho f : X
Y

f





f là ánh xạ
Ví dụ 2: Cho X = {a; b; c; d; e}, Y= {0; 1; 2; 3}


f





f không là ánh xạ
Ví dụ 3: Cho X = {a; b; c; d; e}, Y= {0; 1; 2; 3; 5}








f không là ánh xạ
Ví dụ 4: Cho quy tắc f :
*


x
y =

Ta có:
ta có duy nhất y
: y =

Vậy tương ứng f là ánh xạ
c) Chú ý:
Nếu cho ánh xạ f : X
Y
+ Mỗi x
X đều phải có ảnh của nó trong Y và ảnh đó là duy nhất.
+ Mỗi phần tử y
Y có thể là ảnh của một hay nhiều phần tử của X nhưng có thể không là ảnh của một phần tử nào cả.
+ Đặc biệt: Nếu X = Y thì ánh xạ I: X
X được gọi là ánh xạ đồng nhất và kí hiệu

x
x
2. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh:
a) Đơn ánh:
* Định nghĩa:
Ánh xạ f : X
Y gọi là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kì của tập X có ảnh qua f là hai phần tử khác nhau của tập Y, tức là:
f đơn ánh





Y có nhiều nhất một
X sao cho y = f(x)
* Ví dụ
a)
f





f là đơn ánh
b)

f





f là ánh xạ nhưng không là đơn ánh
c) Xét tính đơn ánh của ánh xạ sau: f:



x
y = x +5
Giải:

, ta có:







Vậy f là đơn ánh
d) Xét tính đơn ánh của ánh xạ sau: f:



x
y =

Giải:

, ta chọn

Mà

Vậy f không là đơn ánh.
b) Toàn ánh:
* Định nghĩa:
Ánh xạ f : X
Y gọi là một toàn ánh nếu mọi phần tử của Y đều có tạo ảnh của X.
f toàn ánh


* Ví dụ
a) f





b) Xét tính toàn ánh của ánh xạ sau: f:



x
y =

Giải:
Ta có:
, ta có: y = f(x)

y =



= 0 (*)
Chọn y =
thì phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy f không phải là toàn ánh
c) Song ánh:
* Định nghĩa:
Ánh xạ f : X
Y gọi là một song ánh nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh
f là song ánh
f là đơn ánh và toàn ánh


tồn tại duy nhất



* Ví dụ
a)

f





f là song ánh
b) Xét tính song ánh của ánh xạ sau: f:
{1}

{2}
x
y =

Giải:
Cách 1:
* Chứng minh f là đơn ánh:

{1}, ta có:







f là đơn ánh
* Chứng minh f là toàn ánh:
Ta có:
{2} , ta có: y = f(x)

y =







f là toàn ánh
Vậy f là song ánh
Cách 2:
Ta có