Al kashy - Appolonius- định lý cosin

NHÀ TOÁN HỌC APOLLONIUS


(262- 180 TCN)
1. Thân thế và sự nghiệp
Apollonius sinh tại Perga, miền nam tiểu Á. Thuở nhỏ ông sang Alexandria và học toán với các học trò của Euclide .
Một chú ý ở đây là ta không nên nhầm lẫn nhà toán học Apollonius sinh tại Perga với những học giả khác của Hy lạp cũng có tên gọi là Apollonius và cho đó là một tên chung. Chẳng hạn :
Apollonius của Rhodes , sinh khoảng 295 TCN, một nhà thơ nhà văn phạm học người Hy lạp, ông là học trò của Callimachus và là thầy của Eratosthenes
Apollonius của Tralles, sống khoảng thế kỷ thứ hai TCN, là một nhà điêu khắc Hy lạp
Apollonius của Athena, sống khoảng thế kỷ thứ 1 TCN, cũng là một nhà điêu khắc Hy lạp, …
Apollonius là một nhà thiên văn nổi tiếng , ông lập nên lý thuyết về chuyển động của mặt trăng và để lại những bảng tính toán giúp tính vị trí của mặt trời và mặt trăng trong thời gian nhật thực và nguyệt thực.
Ngoài thiên văn học ông còn có nhiều công trình lớn về toán học .Nhưng công trình danh tiếng nhất của ông là tác phẩm “ các thiết diện conic” một công trình mà người đương thời gọi ông là một nhà “hình học vĩ đại” .
Tác phẩm “ các thiết diện conic” gồm 8 quyển , khoảng 400 mệnh đề , là một công trình nghiên cứu chuyên về các đường conic và hoàn toàn vượt trội hơn các công trình trước đó cùng nghiên cứu.
Trong quyển I, Apollonius đã nghiên cứu tất cả các hình conic như ngày nay từ một hình nón tròn kép thẳng hoặc xiên
Tên gọi ellip, parabol, hyperbol là do ông đưa ra và dựa vào thuật ngữ của Pythagoras áp dụng vào các diện tích.
Ông đã tìm ra phương trình y2 = px đối với parabol , ngày nay ta gọi là phương trình chính tắc của parabol, trong đó p là tham số tiêu.
Trong công trình các thiết diện conic , ông đã sử dụng đại số hình học khi nghiên cứu các tính chất của thiết diện conic , đường kính, tiêu cự, pháp tuyến và tiếp tuyến của chúng. Chính những kết quả này của ông mà nhiều nhà nghiên cứu cho rằng, hình học giải tích đã xuất hiện ở cổ Hy lạp.
Đường tròn Apollonius: cho hai điểm A và B cố định trong mặt phẳng và một số thực k > 0 ,
. Khi đó quỹ tích những điểm M sao cho
là một đường tròn.
Định lý Apollonius : ( định lý về đường trung tuyến) Trong một tam giác nếu M là trung điểm của BC thì

Ông cũng đã sử dụng các phương pháp hình học xạ ảnh . Ông được xem là người có ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển của hình học, thiên văn học và cơ học.
Các công trình tiêu biểu
Qua tìm hiểu thân thế và sự nghiệp ta thấy công trình tiêu biểu của ông là
Tác phẩm “ Các thiết diện conic”
Đường tròn Apollonius
Định lý Apollonius
Đóng góp cho khoa học , toán học.
Ngoài những công trình để lại như trên ông còn có một đóng góp khác nữa đó là tầm ảnh hưởng tích cực của ông trong việc phát triển hình học, thiên văn học và cơ học.
Giai thoại và châm ngôn

Đây là một nhà toán học lớn nhưng những phương châm sống hay những giai thoại về ông không được nghe kể đến.
4. Ứng dụng trong dạy phổ thông.
Ứng dụng đường tròn Apollonius : cho hai điểm A và B cố định trong mặt phẳng và một số thực k > 0 ,
. Khi đó quỹ tích những điểm M sao cho
là một đường tròn.
Chứng minh















Ta xét k ≠ 1.
Lấy điểm C, D thỏa
.
Khi đó với mọi điểm M thì

Suy ra

Vậy M thuộc đường tròn đường kính CD khi và chỉ khi:

Vậy với k ≠ 1, quỹ tích những điểm M thỏa MA/MB = k là đường tròn đường kính CD. Người ta gọi đường tròn này là đường tròn Apollonius tỉ số k ≠ 1 dựng trên đoạn AB.
Các bài toán liên quan đến đường tròn Apollonius:
Bài toán 1. Cho tam giác ABC không cân. Điểm M thay đổi trong tam giác sao cho (AMC - (B = (AMB - (C. Chứng minh rằng M thuộc một đường tròn cố định.
Giải.
Dựng ra phía ngoài tam giác ABC một điểm N sao cho (ANC ( (AMB. Khi đó
AN/AM = AB/AC và (BAC = (MAN
Suy ra (AMN ( (ABC, do đó
(AMN = (ABC, suy ra (AMC - (ABC = (AMC - (AMN = (CMN. (1)
Mặt khác (ANC = (AMB và