8 Cách CM 2 đường thẳng vuông góc nhau

8 Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau


I. MỘT SỐ CÁCH THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG:
Cách 1: (Theo Định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc):
Hai đường thẳng cắt nhau hoặc 2 tia thẳng tạo ra góc đo 900; Thí dụ:
- 1.a/ Trường hợp (A, (B , (C là 3 góc của TG vuông mà
(B + (C = 900 ( (A = 1800 – 900 = 900
- 1.b/Trường hợp góc nội tiếp chắn 1/2 đường tròn (1800:2 = 900)
- 1.c/Trường hợp 2 đường thẳng giao nhau chia đường tròn thành
4 phần bằng nhau (3600:4 = 900 )
- 1.d/ Trường hợp góc tạo bởi 2 phân giác của 2 góc kề bù


Cách 2: Theo Hệ quả của 2 đường thẳng song song
2.1 Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.



2,2 – Hai đường song song với
hai đường vuông góc đã biết.




Cách 3: Dùng tính chất của ba đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác.

Trong ∆ABC có AH
BC; CI
AB
( BO
AC tại K



Cách 4: Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung.

AB là dây cung trong đường tròn O
Néu AM = MB ( OM
AB



Cách 5: Phân giác của hai góc kề bù nhau.
Có (xOz kề bù (zOy
Nếu O1 = O2 và O3 = O 4
( O2 + O3 = 90O hay Om
On




Cách 6: Sử dụng góc nội tiếp nửa đường tròn.
Trên đường tròn tâm O, đường kính AB
( Mọi đỉểm M trên đường tròn đều có
AM (BM








Cách 7: Sử dụng tính chất đường trung trực.

Có H là trung điểm của AB; Điểm M
cách đều A và B ( MH (AB




Cách 8: Tính chất tiếp tuyến và đường kính của đường tròn.

Nếu đường tròn O tiếp xúc với MA hoặc MB tại A hoắc B thì OA( MA và OB (MB



Có một số bài toán chỉ cần áp dụng 1 trong số các cách trên, nhưng nhiều bài toán phải vận dụng cùng lúc nhiều cách. Khi làm bài nên chọn những cách gọn và sáng sủa; nếu có điều kiện thì trình bày nhiều cách.

BÀI TOÁN MINH HOẠ

( Bài toán 1
Cho hình bình hành ABCD, BH là đường cao từ B tới AD.
Từ A kẻ AF//và = BH;
Từ F kẻ FE// và = AD.
CMR tứ giác ADEF là hình chữ nhât.

Giải (Áp dụng cách 1 & 2)
Dễ dàng CM được 4 góc của ADEF đều = 900 (các cặp cạnh kề đều vuông góc nhau). vì:
AF//BH; FE//AD mà AD ( BH AF ( FE và AF( AD
FE// và = AD nên DE// và = AF
tương tự ta có FE (ED; ED (DA. ( Vậy ADFE là hình chữ nhật

( Bài toán 2
Chứng minh rằng đường trung bình của tam giác luôn vuông góc với đường cao hạ tới cạnh tương ứng của đường trung bình:
Giải ( theo cách 2 )
Giả sử có ∆ ABC với DE là đường TB tương ứng với cạnh BC thì DE//BC. Đường cao AH (hạ từ A tới đáy BC) ( AH ( BC ( AH ( DE (ĐPCM)
Điều KL này đúng với cả khi AH không ở trong ∆ ABC.


( Bài toán 3
Từ tính chất của hình thoi: có 4 cạnh bằng nhau và các cặp cạnh đối diện song nhau từng đôi một, hãy chứng minh 2 đương chéo hình thoi vuông góc với nhau.
Giải (Áp dụng cách 7)
Do hình thoi có 4 cạnh bằng nhau và các cặp cạnh đối diện song nhau từng đôi một nên 2 đường chéo chia hình thoi thành 4 tam giác bằng nhau (g.c.g)
( 2 đường chéo cắt nhau ở trung điểm. (AO = OC; BO = OD)
Dễ dàng thấy trong TG cân ABC thì BO vừa là trung tuyến vừa là trung trực của cạnh AC. ( BO ( AC ( BD ( AC (ĐPCM)

( Bài toán 4
Cho
ABC, các đường cao BD và CE. Gọi I là trung điểm của DE, K là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng: KI
ED?

Giải ; ( Bài này chỉ cần CM 1