7 bài hình học hay và thú vị 9

Các Bài hình học thú vị trong chương trình toán hình học 9
Trong chuyên đề này , mình không có thể vẽ hình được nên các bạn thông cảm vẽ hình giùm mình nha
Bài 1 : Cho đường tròn tâm (O ), đường kính AB . Trên đường tròn lấy 1 điểm C sao cho BC>AC. Các tiếp tuyến tại A và tại C của (O) cắt nhau tại D
1/Chứng tỏ : Tứ giác ADOC nội tiếp , xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác này và OD//BC
2/CD cắt AB tại E . vẽ AH_|_DE tại H . Chứng minh rằng : DC2=DH.DE và ED.HC=EC.AD
3/ Qua E kẻ đường thẳng (d) song song với AD . Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường thẳng BD và AC đến đường thẳng (d) . Chứng minh : EN=2EM
4/Vẽ MK_|_BN tại K , MK cắt NC tại S . Qua S kẻ đường thẳng song song với BE cắt KE vả AK lần lượt tại P và Q . Chứng minh : S là trung điểm của PQ
Bài giải
1/Tứ giác OBAC nội tiếp , xác định tâm
Do DA , AC là tiếp tuyến của ( O) nên góc DAO= góc DCO= 90 độ , 2 góc này cùng nhìn OD dưới 1 góc vuông nên tứ giác này nội tiếp trong đường tròn đường OD nên tâm của nó là trung điểm của OD
b/chứng minh : OD//BC
Ta có góc ACB= 90 độ ( góc nội tiếp chắn nủa đường tròn đường kính AB) => AC_|_BC (1)
Mặt khác , ta có : OA=OC ( R đường tròn O ) , mà AD=CD ( tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau ) nên OD là trung trực của AC=> OD_|_AC (2)
Từ (1) và (2) => OD//BC
2/Chứng minh : DC2=DH.DE
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác DAE vuông tại A có đường cao AH , ta có : AD2=DH.DE mà AD=CD ( cmt) nên CD2=DH.DE
b/ chứng minh : ED.HC= EC.AD
để ý rằng đẳng thức cần chứng minh không thế đưa về các tỉ số để chứng minh các tam giác đồng dạng , tuy nhiên để ý thấy rằng xuất hiện nhiều cặp đường thẳng song song trong hình vẽ gọi cho ta cách chứng minh bằng cách dùng các định lý ta lét
Theo câu a , ta đã chứng minh được OD//BC nên áp dụng hệ quả ta lét trong tam giác EBC ta có EO = ED
OB CD (3)
Do OB=OA (R đường tròn O ) nên EO= EO
OB OA (4)
Ta có DH_|_ EC( gt ) mà EC_|_ OC ( do EC là tiếp tuyến của O ) nên AH//OC , áp dụng dịnh lý ta lét trong tam giác ECO, ta có : EO= EC
OA HC (5 )
Từ (3),(4),(5) => ED = EC
CD HC => ED.HC=EC.CD mà CD=AD( cmt ) => ED.HC =EC. AD
3/Chứng minh : EN=2EM
Vẽ hình xong mà nhận ra rằng rất khó để chứng minh : EN=2EM . Đây là 1 bài hình không thể giải bằng cách thông thường được , tuy nhiên trong hình vẽ có rất nhiều giả thiết giúp tìm ra được một số ý chính . Nhiều người tinh mắt sẽ thấy rằng ta chứng minh được BE là phân giác của góc CBN lại có BE vuông góc với MN ( ta chứng minh được ) nên đường phụ là giao điểm của BC với MN để xuất hiện tam giác cân , kết hợp với định lý ta lét ta sẽ tìm ra lời giải của bài toán như sau :
Gọi F và Q lần lượt là giao điểm của BC với các đường thẳng AD và MN
Xét tam giác BAF , ta có OD//BC mà O là trung điểm của AB => D là trung điểm của AF = > DA=DF
AD//MN(gt) nên EQ//AF , Áp dụng định lý ta lét, ta có
Trong tam giác MEB : AD = BD
ME BM (6)
Trong tam giác QMB : BD = DF
BM QM (7)
Từ (6), (7) => AD= DF
ME QM mà DA=DF ( cmt ) => ME=QM nên M là trung điểm của QE=> QE=2ME
Do MN//AD mà AD_|_ AB => QN_|_ AB hay QN_|_BE
Do đó , dễ thấy góc NEB= góc NCB= 90 độ nên tứ giác NECB nội tiếp được =>góc NCE= góc NBE mà góc NCE= góc EBQ ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn O )