6 Điểm Kỳ Diệu của Pascal (phần II).

6 Điểm Kỳ Diệu của Pascal (tiếp phần II)
Bài toán hình lí thú: “Cánh bướm Pascal”

 Sự kết hợp tuyệt vời giữa hai kết quả hay trong hình học: Định lý lục giác (*( Pascal  và định lý con bướm.





Định lý con bướm phát biểu như sau:

Giả sử M là trung điểm của dây cung  XY trên đường tròn tâm O. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD. Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng XY với hai đường thẳng  AD và BC.
Ta luôn có M là trung điểm của PQ.

Chúng ta thấy hình vẽ của định lý nhìn giống như hình một con bướm với hai cánh giao nhau tại điểm M. Đó là lý do tại sao định lý này mang tên là định lý con bướm.

Định lý con bướm có nhiều cách chứng minh. Công cụ sử dụng trong các cách chứng minh này khá là đa dạng. Ví dụ, có cách chứng minh sử dụng định lý Menelaus, có cách chứng minh sử dụng phương tích, trục đẳng phương, cách chứng minh khác lại dùng lượng giác, hay hình học tọa độ, v.v... 
Một cách chứng minh đơn giản cho Bài toán “Định lý con bướm” bằng cách sử dụng Định lý lục giác Pascal (*(. 
Định lý Pascal phát biểu như sau :
Cho hình lục giác 123456 nội tiếp một đường tròn. Ta có ba giao điểm của ba cặp cạnh đối diện
{12,45}, {23,56}, {34,61}
của hình lục giác luôn luôn thẳng hàng.




Định lý Pascal còn được gọi là định lý lục giác kỳ diệu. Nếu các bạn thay đường tròn bởi đường elíp, đường parabol, hay đường hypebol, và vẽ một hình lục giác nội tiếp các đường cônic này thì định lý vẫn đúng (*(

II.-Chứng minh định lý con bướm

Ta sẽ chứng minh định lý con bướm bằng cách sử dụng định lý lục giác Pascal.

Vẽ các đường kính AU và CV. Gọi N là giao điểm của DU và BV. Theo định lý Pascal cho hình lục giác ABVCDU, chúng ta có ba giao điểm M, O, N thẳng hàng.

Vì M là trung điểm của dây cung XY ( NOM ( XY.
Vì AU và CV là hai đường kính
((ADU =(CBV=900.
(MNDP và MNBQ là hai tứ giác nội tiếp đường tròn.
((MNP=(MDP=(MBQ=(MNQ.
 Vậy hai tam giác vuông MNP và MNQ bằng nhau ( suy ra MP=MQ
(điều cần chứng minh) .
----------------------------------------------------------------------------------

(*( Xem bài «6 điểm kì diệu của Pasal » cùng trong trang Violet toán học này



PHH sưu tầm & biên chỉnh 9 -2013. Nguồn TK Webside vuontoan.com