6 bài ứng dụng ĐL Ptôleme.doc

6 bài toán ứng dụng định lí Ptô-lê-mê



(Bài toán 1: Đây là 1 ví dụ điển hình và cơ bản về việc ứng dụng định lí Ptô-lê-mê.

Cho tam giác đều ABC có các cạnh bằng a (a>0).Trên AC lấy điểmQ di động, trên tia đối của tia CB lấy điểm P di động sao cho AQ.BP=a2. Gọi M là giao điểm của BQ và AP. Chứng minh rằng: AM+MC=BM ( Đề thi vào trường THPT chuyên Lê Quí Đôn, thị xã Đông Hà, tỉnh Quảng Trị, năm học 2005-2006)

Chứng minh: Từ giả thiết AQ.BP=a2
( AQ.AB=AB.BP. Xét ΔABQ và ΔBPA có:  AQ.AB=AB.BP(gt)
((BAQ=(ABPˆ
( ΔABQ ( ΔBPA(c.g.c)
((ABQˆ=(APBˆ(1) Lại có (ABQˆ+(MBPˆ=60o(2) Từ: (1),(2)
BMPˆ=180o−(MBPˆ−(MPBˆ=120o (AMBˆ=180o−(BMPˆ=180o−120o=60o=(ACBˆ. ( tứ giác AMCB nội tiếp được đường tròn.
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác AMCB nội tiếp và giả thiết AB=BC=CA ta có: AB.MC+BC.AM=BM.AC (AM+MC=BM (đpcm) 

(Bài toán 2: Tam giác ABC vuông có BC>CA>AB. Gọi D là một điểm trên cạnh BC, E là một điểm trên cạnh AB kéo dài về phía điểm A sao cho BD=BE=CA. Gọi P là một điểm trên cạnh AC sao cho E,B,D,P nằm trên một đường tròn. Q là giao điểm thứ hai của BP với đường tròn ngoại tiếp ( ABC.
Chứng minh rằng: AQ+CQ=BP (Đề thi chọn đội tuyển Hồng Kông tham dự IMO 2000, HongKong TST 2000)
*Dựa vào các đại lượng trong tam giác bằng nhau theo giả thiết, ta sử dụng ĐL tam giác đồng dạng để suy ra các tỉ số liên quan và sử dụng phép thế để suy ra điều phải chứng minh.

Chứng minh: Xét các tứ giác nội tiếp ABCQ và BEPD ta có: (CAQˆ=(CBQˆ=(DEPˆ (cùng chắn các cung tròn) Mặt khác (AQCˆ=108o−(ABCˆ=(EPDˆ Xét ΔAQC và ΔEPDcó: (AQCˆ=(EPDˆ; (CAQˆ=(DEPˆ
( ΔAQC(ΔEPD ( AQ/EP=CA/ED ( AQ.ED =EP.CA=EP.BD( 1) (do AC=BD) AC/ED=QC/PD ( ED.QC=AC.PD=BE.PD (2) (do AC=BE) Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp BEPD ta có:  EP.BD+BE.PD=ED.BP (3)  Từ (1),(2),(3) suy ra: AQ.ED+QC.ED=ED.BP ( AQ+QC=BP (đpcm)

(Bài toán 3:  Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O,R) và ngoại tiếp đường tròn (I,r).Gọi x,y,z lần lượt là khoảng cách từ O tới các cạnh tam giác.
Chứng minh rằng: x+y+z=R+r

Chứng minh: Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB.
Giả sử 
x=OM,y=ON,z=OP,BC=a,CA=b,AB=c. Tứ giác OMBP nội tiếp, theo đẳng thức Ptô-lê-mê ta có: OB.PM=OP.MB+OM.PB Do đó: R.b2= z.a2 + x.c2(1) Tương tự ta cũng có : R.c2= y.a2+x.b2 (2) và R.a2=y.c2+z.b2 (3)
Mặt khác:
r(a2+b2+c2)=SABC=SOBC+SOCA+SOAB= x.a2+yb2+z.c2 (4) Từ (1),(2),(3),(4) ta có: (R+r)(a+b+c2)=(x+y+z)(a+b+c2) (R+r=x+y+z (đpcm)

( Bài này còn gọi là Định lí Carnot- 1 định lí khá là quen thuộc và cách chứng minh cũng khá đơn giản. Ứng dụng của định lí này như đã nói là dùng nhiều trong tính toán các đại lượng trong tam giác)
2