6 bài quỹ tích bd HSG

Bài toán quĩ tích số 1.
Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm di động trên nửa đường tròn đó. Trên tia AC lấy điểm M sao cho AM = BC. Tìm quĩ tích điểm M.
Giải bài toán bằng hai phương pháp:
Phương pháp biến hình.
Phương pháp tương giao.
Giải
1. Gọi D là điểm chính giữa cung AB.
Nối AD, BD, MD, CD.
Suy ra DA = DB. Ta có

vì AM = BC (gt), AD = BD
và
(Hai góc nội tiếp cùng
chắn một cung).
Suy ra
MDC cân đỉnh D.
Lại có
không đổi,
nên
không đổi.
Dùng phép quay
biến C thành M, biến B thành A và A thành A`.
Suy ra quỹ tích diểm M là nửa đường tròn đường kính AA` là ảnh của nửa đường tròn đường kính AB qua phép quay
.
2. Phần thuận:
Kẻ tiếp tuyển tại A của nửa đường tròn đường kính AB.
Qua M kẻ tia Mx vuông góc với AC tại M cắt tiếp tuyến tại A ở A`.
Ta có
(góc CBA bằng góc AMA` vì cùng phụ với góc BAC).
Suy ra AA` = AB. Do AB cho trước nên AA` cố định và
= 900 không đổi nên
= 900 không đổi. M nằm trên đường tròn đường kính AA`.
Giới hạn quĩ tích:
Khi C
B thì BC = 0 khi đó AM = 0 tức là M
A.
Khi C
A thì BC
BA mà AM luôn luôn bằng BC và vuông góc với BC tại C nên khi đó AM trùng với tiếp tuyến AA` (M
A`). Vậy M nằm trên nửa đường tròn đường kính AA`.
Phần đảo:
Lấy bất kì M` nằm trên nửa đường tròn đường kính AA`. Kẻ tia AM` cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C`. Nối BC`. Ta có
(cạnh huyền, góc nhọn).
Suy ra AM` = BC`.
Kết luận:
Quĩ tích điểm M nửa đường tròn đường kính AA`. (AA`
AB và AA` = AB)

Bài toán quĩ tích số 2.
Cho nửa đường tròn đường kính AB, M là một điểm di động trên nửa đường tròn đó. Gọi H là chân đường cao hạn từ M xuống AB (H thuộc AB), trên OM lấy điểm N sao cho ON = MH. Tìm quĩ tích điểm M.
Giải
Phần thuận:
Gọi C là điểm chính giữa cung AB. Nối OC ta có CO
AB tại O.

(c.g.c) Vì OC = MO, ON = MH,
(cùng phụ với
).
Suy ra
không đổi. AB cố định nên OC cố định. Vậy N nằm trên đường tròn đường kính OC.
Phần đảo:
Lấy N` thuộc đường tròn đường kính OC. Kẻ tia ON` cắt nửa đường tròn đường kính AB tại M`. Từ M` kẻ M`H`
AB (H`
AB) ta chứng minh ON` = M`H`. Thật vậy
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
(cạnh huyền, góc nhọn), vì OC = M`H`,
(cùng phụ với
). Suy ra ON` = M`H`.
Kết luận:
Quĩ tích những điểm N là đường tròn đường kính OC (C là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB)

Bài toán quĩ tích số 3:
Cho đường tròn tâm (O) và điểmA nằm ngoài đường tròn đó. Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn tại hai điểm M, N. Tìm quĩ tích trung điểm I của MN khi đường thẳng d quay quanh A.
Giải
1. Phần thuận:
Do I là trung điểm của MN nên OI vuông góc với MN tại I. Suy ra góc AIO luôn bằng 900 không đổi. AO cố định. Vậy I nằm trên đường tròn đường kính AO.
*. Giới hạn quĩ tích
Khi đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tâm (O) thì M trùng với N và trùng với E là tiếp điểm của d và (O). Do đó I cũng trùng với E. tương tự I trùng Với F khi d là tiếp tuyến của (O), (F và E nằm trên hai nửa mặt phẳng đối bờ AO). Vậy I nằm trên cung EOF của đường tròn đường kính AO.
2. Phần đảo:
Lấy bất kì I thuộc Cung EOF của đường tròn đường kính AO, ta có góc AIO luôn luôn bằng 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) . Gọi giao điểm của AO với đường tròn (O) là M và N thì OI vuông góc với MN. Suy ra I là trung điểm của MN (tính chất đường kính và dây cung).
3. Kết