5 bài hình luyện thi vào 10 có hướng dẫn giải

Bài số 1
Cho tam giác đều ABC, gọi O là trung điểm của BC. Góc
xOy = 600 quay quanh O cắt AB, AC lần lượt tại D E
a, chứng minh BD.CE không đổi.
b, chứng minh DO là tia phân giác của góc BDE
c, vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh DE tiếp xúc với (O)















a/ Xét
BDO và
COE có

B =
C = 600( vì
ABC đều)

BOD =
OEC
(
BOD +
EOC = 60

OEC +
EOC = 60)


BDO đồng dạng
COE (g.g)





BD . CE = CO . BO ( không đổi)

b/ Vì
BDO đồng dạng
COE (g.g)


mà CO = OB



Ta lại có
B =
DOE = 600


BDO đồng dạng
OED (g.g)


BDO =
ODE ( hai góc tương ứng)
Vậy DO là phân giác của
BDE
c/ đường tròn(O) tiếp xúc với AB tại H

AB
OH
Từ O kẻ OK
DE
Vì O thuộc phân giác của BDE

OK = OH

K thuộc đường tròn (O; OH)
Có DE
OK
DE luôn tiếp xúc với (O; OH)
Cách khác Xét tam giác ADE có DO là đường phân giác ngoài đỉnh D và AO là đường phân giác trong đỉnh A
( O là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh A
( (O) tiếp xúc vớí DE







Bài 2 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB
Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By, từ một điểm M trên Ax
Kẻ tiếp tuyến MP cắt By tại N
a, c/m AMPO là tứ giác nội tiếp

b/ c/m
MON và
APB là hai tam giác vuông đồng dạng
c, c/m MP . NP = OP2 = R2
d/ Tính tỷ số
biết AM =


a/ tứ giác AMPO có

MAO +
MPO = 900+ 900 = 1800
Mà
MAO và
MPO là hai góc đối của tứ giác
Nên AMPO là tứ giác nội tiếp
b, AMPO là tứ giác nội tiếp


PAO =
PMO (1) ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung PO của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMPO)
chứng minh tương tự ta có tứ giác OPNB nội tiếp


PNO =
PBO (2)
Từ (1) và (2)


MON đồng dạng
APB (g.g)
Có
APB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O))


MON và
APB là hai tam giác vuông đồng dạng
c/ Theo tính chất của tiếp tuyến có
AM = MP và PN = NB

AM . BN = MP . PN
Mà
MON vuông tại O có OP
MN

MP . NP = OP2 = R2 ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)

d/ Tính tỷ số
biết AM =

Ta có AM =
mà AM. BN = R2

BN = 2R
kẻ MH
BN
BH = AM =


HN = 3.

Trong tam giác MHN vuông tại H ta có : MN2 = MH2 + NH2 (Đ/l Pitago)

MN2 = (2R)2 + (3.
)2 =
R2

MN =

Do đó
=
=
=
=

Bài 3 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O , đường cao AH . Phân giác AD cắt (O) ở E , OE cắt BC ở I . Vẽ đường kính AF , kẻ CK AF với K AF
Chứng minh ACKH nội tiếp
Chứng minh IB = IC và OE // AH
Giả sử AB = 8 , AC = 12 , AH = 5 . Tính chu vi đường tròn (O)
Chứng minh AD2 < AB.AC và (IHK cân




90o
( Tứ giác AHKC nội tiếp (H và K cùng nhìn AC dưới các góc bằng nhau)

Chứng minh IB = ID
Chứng minh OD