3 Bài toán tìm khoảng cách ngắn nhất

Giải 3 Bài toán tìm khoảng cách ngắn nhất


I.- Các Bài toán

( Bài toán 1:
Buổi tối, một chàng trai đứng ở vị trí Y, cách nhà người tình một cái hồ nước rộng. Cửa sổ căn phòng của cô gái (vị trí X) bị lùm cây che khuất. Làm thế nào để chàng bấm đèn pin ra hiệu hẹn gặp cô gái ? Cần bấm đèn chiếu vào đâu ?

( Bài toán 2: Giải bài toán 1 làm ta nhớ đến một bài toán cổ:

Một con chim đậu trên một cọc rào có thể bổ nhào xuống một cái sân phơi đầy thóc, sau đó chim phải bay ngay lên một ngọn cây gần đáy. Hỏi chim phải bay thế nào để có thời gian ngắn nhất ?

( Bài toán 3:
Cả 2 Bài toán trên đều có thể quy về lí thuyết một bài toán hình học sau:

 Cho một đường thẳng t và hai điểm A và B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng t. Tìm điểm M nằm trên đường thẳng t sao cho MA+MB có giá trị nhỏ nhất.


Bài toán hình học này, nếu đã học về hình Elips thì giải không có gì lá khó; Nhưng để đi tìm lời giải, ta hãy ùng phân tích từng bước như sau:

II.-Các bước phân tích

a/ Ở đây chúng ta có một đường thẳng t và hai điểm A và B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng t. Câu hỏi là tìm một điểm M nằm trên đường thẳng t sao cho khoảng cách đi từ điểm A đến điểm M rồi quay lại điểm B là ngắn nhất.

Có thể M là điểm A′ do A hạ vuông góc xuống đường thẳng t, cũng có thể là B′, hoặc có thể là một điểm M nào đó nằm lưng chừng giữa A′và B′ như hình dưới đây.

Trong ba khoảng cách trên:
Giả sử MA+MB là nhỏ nhất. Nhưng cụ thể điểm M phải nằm ở vị trí nào giữa hai điểm  A′ và B′ để MA+MB là nhỏ nhất?



b/ Nếu giá trị nhỏ nhất  MA+MB=ℓ. Chúng ta vẽ hình elip đi qua điểm M mà hai tiêu điểm là Avà B như hình dưới đây.
Như vậy chúng ta có:
Mọi điểm P trên hình elip thì PA+PB=MA+MB=ℓ;

trong khi đó mọi điểm P nằm trên đường thẳng t thì PA+PB≥MA+MB=ℓ

nếu P nằm trên đường elip thì PA+PB=ℓ,
nếu P nằm trên đường thẳng  t  thì  PA+PB≥ℓ

c/ Ta kết luận rằng hình elip sẽ phải tiếp xúc với đường thẳng t tại điểm M. Bởi vì:
Nếu hình elip không tiếp xúc với đường thẳng t thì đường elip sẽ cắt đường thẳng t tại hai điểm M và N.
Chúng ta chỉ cần lấy một điểm X nằm bất kỳ giữa M và N như hình dưới đây thì chúng ta sẽ có
XA+XB Như vậy XA+XB
nếu hình elip không tiếp xúc với t thì chúng ta sẽ tìm ra được một điểm X tốt hơn là điểm M mặc dù chúng ta chưa biết được điểm cần tìm M nằm ở đâu trên đường thẳng t, nhưng chúng ta đã suy luận được rằng nếu chúng ta tìm ra được điểm M để MA+MB là ngắn nhất thì hình elip đi qua điểm M và có tiêu điểm A và B sẽ phải tiếp xúc với đường thẳng t. Chúng ta gọi t là một đường tiếp tuyến của hình elip tại điểm M.

d/ Vậy , nếu MA+MB là ngắn nhất thì t sẽ là đường tiếp tuyến của hình elip 

e/ Biện luận cho các trường hợp đặc biêt

Nếu điểm B nằm trên đường thẳng t thì điểm M cần tìm chính là M=B. Chúng ta cũng thấy rằng nếu điểm B nằm rất gần đường thẳng t thì điểm M cần tìm cũng phải nằm rất gần điểm B để cho MA+MB là bé nhất.



Nếu B nằm gần đường thẳng t thì M cũng nằm gần B để MA+MB là bé nhất 

Mặc dù bài toán yêu cầu rằng hai điểm A và B nằm cùng một phía với đường thẳng t, nhưng chúng ta thử tưởng tượng xem nếu điểm B nằm về phía bên kia của đường thẳng thì sẽ như thế nào? Rõ ràng nếu B nằm phía bên kia của đường thẳng thì MA+MB sẽ là nhỏ nhất nếu M chính là giao điểm của AB với đường thẳng t.
Nếu B nằm phía bên kia thì MA+MB sẽ là nhỏ nhất nếu M là giao điểm của AB với đường thẳng t