3 bài hình của Mỹ Linh

1.Cho (O) và điểm S ở ngoài đường tròn. Từ S kẻ 2 tiếp tuyến SA, SD và cát tuyến SBC tới đường tròn ( B ở giữa S và C).
Phân giác của góc BAC cắt dây cung BC ở M. CM : SD=SM
AM cắt (O) ở E. Gọi G là giao điểm của OE và BC; F là giao điểm của AD và BC. CM: SA^2=SG.SF
Biết SB=a; Tính SF khi BC= 2a/3

/
a.CM : SD=SM

BAS =
ACB (cùng = ½ sđ
)

BAM =
CAM (AM là phân giác
BAC)
=>
BAS +
BAM =
ACB +
CAM =
AMS(
AMS là góc ngoài của
AMC)


SAM =
SMA


SMA cân ớ S => SA = SM
Mà : SA = SD => SM = SD
b. CM: SA^2=SG.SF
Dễ dàng chứng minh được tứ giác SAGD nội tiếp đường tròn đường kính SO
=>
SDA =
SGA (cùng chắn cung SA) =
SAD
SAF SGA (g.g)
=> SA2 = SF.SG
c. Tính SF
SC = SB + BC = a + 2a/3 = 5a/3
AE là phân giác
BAC => E là điểm chính giữa

=> OE là trung trực của BC => GB = GC = ½ BC = a/3
=> SG = SC - CG = 4a/3
SABSCA (
ASC chung,
BAS=
ACS)
=> SA2 = SB.SC
Mà: SA2 = SF.SG (cmt)
SB.SC = SF.SG


2. Từ điểm M ở ngoài (I) kẻ 2 tiếp tuyến ME, MF (E,F là 2 tiếp điểm ). Kẻ dây EG của (I) // MF. Gọi H là giao điểm của MG với (I) và K là giao điểm của EH với MF.
a. CM: KF^2=KE.KH
b. CM: K là trung điểm của MF
/
a. CM: KF^2=KE.KH
∆KFHKEF (
EKF chung,
KFH=
KEF=1/2sđ
)
=> KF2 = KH.KE
b. CM: K là trung điểm của MF
Có: EG // MF =>
EGM =
FMG (slt)
Lại có:
EGM =
MEH (=1/2sđ
)
=>
MEH =
FMG
KMHKEM (g.g)
=> KM2 = KH.KE = KF2
=> KM = KF hay K là trung điểm của MF
3. Cho (O) đường kính ÈF và điểm G nằm trên (O) sao cho EG > GF. Trên tia GF lấy điểm H sao cho GH=GE. Vẽ hình vuông EGHI có đường chéo GI cắt (O) tại K.
a. CM: tam giác KHF cân
b. Tiếp tuyến tại E với (O) cắt FK ở M. CM: M,I,H thẳng hàng
/
CM: tam giác KHF cân
GI là đường chéo của hình vuông EGHI => GI là phân giác
EGH
Mà: GI cắt (O) tại K => K là điểm chính giữa

EK = KF (1)
∆EKIHKI (EI = HI; IK chung;
EIK =
HIK = 1/2
EIH)
=> EK = HK (2)
Từ (1) và (2) => KF = HK
Hay ∆KFH cân ở K
b. Tiếp tuyến tại E với (O) cắt FK ở M. CM: M,I,H thẳng hàng
Dễ dàng nhận thấy ∆EKF vuông cân ở K
∆MEF vuông cân ở E
EKF = 900 => EK là đường cao đồng thời là trung tuyến của ∆MEF
KM = KF
Lại có: KF = KH (cmt)
Ta thấy ∆FHM có HK là trung tuyến và HK = KM = KH = 1/2MH
∆FHM vuông ở H
MH
FH
Mà: IH
FH (EGHI là hình vuông)
M,I,H thẳng hàng