25 De On Thi Vao Lop 10

Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®­êng trßn (O). C¸c ®­êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®­êng trßn (O) lÇn l­ît t¹i M,N,P.
Chøng minh r»ng:
Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp .
Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
H vµ M ®èi xøng nhau qua BC.
X¸c ®Þnh t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.
Lêi gi¶i:
XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:
( CEH = 900 ( V× BE lµ ®­êng cao)
( CDH = 900 ( V× AD lµ ®­êng cao)
=> ( CEH + ( CDH = 1800

Mµ ( CEH vµ ( CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp
Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®­êng cao => BE ( AC => (BEC = 900.
CF lµ ®­êng cao => CF ( AB => (BFC = 900.
Nh­ vËy E vµ F cïng nh×n BC d­íi mét gãc 900 => E vµ F cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC.
VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã: ( AEH = ( ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung
=> ( AEH ( (ADC =>
=> AE.AC = AH.AD.
* XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã: ( BEC = ( ADC = 900 ; (C lµ gãc chung
=> ( BEC ( (ADC =>
=> AD.BC = BE.AC.
4. Ta cã (C1 = (A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC)
(C2 = (A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM)
=> (C1 = ( C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB ( HM => ( CHM c©n t¹i C
=> CB còng lµ ®­¬ng trung trùc cña HM vËy H vµ M ®èi xøng nhau qua BC.
5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn
=> (C1 = (E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF)
Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp
(C1 = (E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD)
(E1 = (E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED.
Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.
Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®­êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE.
Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp .
Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
Chøng minh ED =
BC.
Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O).
TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Lêi gi¶i:
XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:
( CEH = 900 ( V× BE lµ ®­êng cao)
( CDH = 900 ( V× AD lµ ®­êng cao)
=> ( CEH + ( CDH = 1800
Mµ ( CEH vµ ( CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD ,
Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp
2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®­êng cao => BE ( AC => (BEA = 900.
AD lµ ®­êng cao => AD ( BC => (BDA = 900.
Nh­ vËy E vµ D cïng nh×n AB d­íi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB.
VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®­êng cao nªn còng lµ ®­êng trung tuyÕn
=> D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã (BEC = 900 .
VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE =
BC.
V× O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => (E1 = (A1 (1).
Theo trªn DE =
BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => (E3 = (B1 (2)
Mµ (B1 = (A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => (E1 = (E3 => (E1 + (E2 = (E2 + (E3
Mµ (E1 + (E2 = (BEA = 900 => (E2 + (E3 = 900 = (OED => DE ( OE t¹i E.
VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) t¹i E.
5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2 ( ED2 = 52 – 32 ( ED = 4cm

Bµi 3 Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn l­ît ë C vµ D. C¸c ®­êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N.
Chøng minh AC + BD = CD.
Chøng minh (COD = 900.
Chøng minh AC. BD =
.
Chøng minh OC // BM
Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD.
Chøng minh MN ( AB.
X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Lêi gi¶i:
Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD
Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ (AOM vµ (BOM lµ hai gãc kÒ bï => (COD = 900.
Theo trªn (COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM ( CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ).
¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM,
Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD =
.
Theo trªn (COD = 900 nªn OC ( OD .(1)
Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM ( OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD).
Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD ta cã I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®­êng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh.
Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC ( AB; BD ( AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung ®iÓm cña AB => IO lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB
=> IO // AC , mµ AC ( AB => IO ( AB t¹i O => AB lµ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD
6. Theo trªn AC // BD =>
, mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra

=> MN // BD mµ BD ( AB => MN ( AB.
7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt khi CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By. Khi ®ã CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB.
Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK.
Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O).
TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Lêi gi¶i: (HD)
1. V× I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B
Do ®ã BI ( BK hay(IBK = 900 .
T­¬ng tù ta còng cã (ICK = 900 nh­ vËy B vµ C cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
Ta cã (C1 = (C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH.
(C2 + (I1 = 900 (2) ( v× (IHC = 900 ).
(I1 = ( ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O)
Tõ (1), (2) , (3) => (C1 + (ICO = 900 hay AC ( OC.
VËy AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O).
Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.
AH2 = AC2 – HC2 => AH =
= 16 ( cm)
CH2 = AH.OH => OH =
= 9 (cm)
OC =
= 15 (cm)

Bµi 5 Cho ®­êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®­êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC ( MB, BD ( MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB.
Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp.
Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn .
Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi.
Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng.
T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d
Lêi gi¶i:
(HS tù lµm).
V× K lµ trung ®iÓm NP nªn OK ( NP ( quan hÖ ®­êng kÝnh Vµ d©y cung) => (OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã (OAM = 900; (OBM = 900. nh­ vËy K, A, B cïng nh×n OM d­íi mét gãc 900 nªn cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh OM.
VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn.
3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R
=> OM lµ trung trùc cña AB => OM ( AB t¹i I .
Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã (OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®­êng cao.
¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI. IM = IA2.
4. Ta cã OB ( MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC ( MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA ( MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD ( MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
=> Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi.
5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH ( AB; còng theo trªn OM ( AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB).
6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nh­ng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d lµ nöa ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R

Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®­êng cao AH. VÏ ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i D c¾t CA ë E.
Chøng minh tam gi¸c BEC c©n.
Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH.
Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (A; AH).
Chøng minh BE = BH + DE.
Lêi gi¶i: (HD)
( AHC = (ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2).
V× AB (CE (gt), do ®ã AB võa lµ ®­êng cao võa lµ ®­êng trung tuyÕn cña (BEC
=> BEC lµ tam gi¸c c©n. => (B1 = (B2
2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, (B1 = (B2 => ( AHB = (AIB
=> AI = AH.
3. AI = AH vµ BE ( AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I.
4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bµi 7 Cho ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M.
Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn.
Chøng minh BM // OP.
§­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh.
BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng.
Lêi gi¶i:
(HS tù lµm).
Ta cã ( ABM néi tiÕp ch¾n cung AM; ( AOM lµ gãc ë t©m
ch¾n cung AM => ( ABM =
(1) OP lµ tia ph©n gi¸c ( AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau )
=> ( AOP =
(2)
Tõ (1) vµ (2) => ( ABM = ( AOP (3) Mµ ( ABM vµ ( AOP lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4)
XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : (PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); (NOB = 900 (gt NO(AB).
=> (PAO = (NOB = 900; OA = OB = R; (AOP = (OBN (theo (3)) => (AOP = (OBN => OP = BN (5)
Tõ (4) vµ (5) => OBNP lµ h×nh b×nh hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau).
Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON ( AB => ON ( PJ
Ta còng cã PM ( OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m ta