2 bai toan hay ve hinh elip

BÀI TOÁN
LÀM QUEN VỚI HÌNH ÉLIP

*Tìm khoảng cách ngắn nhất
*Đường tiếp tuyến hình elip
I.- Làm qen với
hình élip

 So sánh elip với hình tròn
Cách tạo ra hình elip
Cách vẽ hình elip
Hình tròn và hình elip
Hình elip là “hình tròn bị bóp bẹp”.
Hình tròn khi nhìn nghiêng thành hình elip
Cách tạo ra hình elip
Thiết diện cắt nghiêng một ống tròn
(hình trụ)
có hình elip
Vẽ hình elip trên máy tính
Đơn giản ! chỉ cần lấy ở tools bar lên một hình tròn, tiêp theo nhấp chuột vào bên cạnh rồi kéo ra (hoăc phía dưới thì kéo xuống) ta sẽ có ngay hình elip
o o

o o

o o
Nhấp chuột vào đây, kéo ra
Vẽ hình elip bằng bút trên giấy
Muốn vẽ hình elip, ta dùng 2 đinh ghim cố định tạo hai điểm  F1 và F2, gọi là hai tiêu điểm của đường elip, và một vòng bằng sợi chỉ mềm có
độ dài = ℓ + đoạn F1 F2
Các điểm P trên hình elip có tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm bằng ℓ. Tức là, với mọi điểm P trên hình elip thì PF1+PF2=ℓ.


So sánh elip với hình tròn
Hình elip là hình mà: mọi điểm P trên hình elip đều có 
PF1+PF2=ℓ
Hình tròn là hình có F1 trùng F2
hay F1+F2= O
O
Cách tạo dụng cụ khác vẽ hình elip
Đây là một dụng cụ vẽ hình elip làm từ một miếng giấy bìa cứng và một sợi chỉ.

vẽ hình elip
Cố định miếng giấy đã xâu vòng chỉ
Dùng bút chì lồng vào vòng chỉ , xoay xung quanh sẽ có 1 hình elip
II.-Hai Bài toán về hình elip
Vấn đề: chúng ta có một đường thẳng t và hai điểm A và B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng t.
Câu hỏi là tìm một điểm M nằm trên đường thẳng t sao cho khoảng cách đi từ điểm A đến điểm M rồi quay lại điểm B là ngắn nhất.
A đường thẳng t B
M ?...
Bài toán 1
Bài toán 1: Cho một đường thẳng t và hai điểm A và B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng t.
Tìm điểm M nằm trên đường thẳng t sao cho MA+MB có giá trị nhỏ nhất.

Phân tich bài 1
Hãy dự đoán điểm M là điểm nào ?
Có thể M là điểm A′ do A hạ vuông góc xuống đường thẳng t,
cũng có thể là B′, hoặc có thể là một điểm C nào đó nằm lưng chừng giữa A′và B′ như hình dưới đây.
Ta có thể lấy thước ra và đo xem thử trong ba khoảng cách sau
A′A+A′B  = ?
B′A+B′B = ?
CA+CB= ?
khoảng cách nào là nhỏ nhất =?

Trong ba khoảng cách trên, ta thấy CA+CB là nhỏ nhất. Nhưng cụ thể điểm C phải nằm ở vị trí nào giữa hai điểm A′ và B′ để CA+CB là nhỏ nhất ?
phân tích theo hướng khác
Giả sử như chúng ta đã tìm ra được điểm M để MA+MB là nhỏ nhất, và giá trị nhỏ nhất đó là MA+MB=ℓ. Ta vẽ hình elip đi qua điểm M mà hai tiêu điểm là A vàB như hình dưới đây. Như vậy chúng ta có:








mọi điểm P trên hình elip thì PA+PB=MA+MB=ℓ;
trong khi đó mọi điểm P nằm trên đường thẳng t thì 
PA+PB ≥ MA+MB = ℓ .
nếu P nằm trên đường elip thì PA+PB=ℓ;
nếu P nằm trên đường thẳng t thì PA+PB ≥ ℓ
Ta kết luận rằng hình elip sẽ phải tiếp xúc với đường thẳng t tại điểm M. Bởi vì nếu hình elip không tiếp xúc với đường thẳng t thì đường elip sẽ cắt đường thẳng t tại hai điểm M và N. Vậy chỉ cần lấy một điểm X nằm bất kỳ giữa M và N, chúng ta sẽ có
XA+XBNhư vậy XA+XBĐiều rut ra:
Mặc dù chúng ta chưa biết được điểm cần tìm M nằm ở đâu trên đường thẳng t, nhưng chúng ta đã suy luận được rằng nếu chúng ta tìm ra được điểm M để MA+MB là ngắn nhất thì hình elip đi qua điểm M và có tiêu điểm A&B sẽ phải tiếp xúc với đường thẳng t. Chúng ta gọi t là một đường tiếp tuyến của hình elip tại điểm M.
Điều rut ra:
Nếu MA+MB là ngắn nhất thì t sẽ là đường tiếp tuyến của hình elip 
Xác định điểm M
Vậy cách nào để xác định được điểm M?
Ta thử xét các trường hợp đặc biệt :
Nếu điểm B nằm trên đường thẳng t thì điểm M cần tìm chính là M=B;
Nếu điểm B nằm rất gần đường thẳng t thì điểm M cần tìm cũng phải nằm rất gần điểm B để cho MA+MB là bé nhất.
Mở rộng
Mặc dù bài toán yêu cầu rằng hai điểm A và B nằm cùng một phía với đường thẳng t, nhưng chúng nếu suy luận thêm: Nếu điểm B nằm về phía bên kia của đường thẳng thì sẽ như thế nào?

Rõ ràng nếu B nằm phía bên kia của đường thẳng thì MA+MB sẽ là nhỏ nhất nếu M chính là giao điểm của AB với đường thẳng t.
Đến đây chúng ta bỗng phát hiện ra cách giải quyết bài toán. Chúng ta sẽ tạo ra một điểm K nằm ở phía bên kia của đường thẳng sao cho K và B có vai trò như nhau. Như vậy, K chính là điểm đối xứng của B qua đường thẳng t.
Với mọi điểm P nằm trên đường thẳng t thì PB=PK.
Như vậy PA+PB=PA+PK và PA+PK  là ngắn nhất khi P chính là giao điểm của AK với đường thẳng t.
Bài toán đã được giải quyết.
Viết lại Lời giải bài toán 1
 Gọi K là điểm đối xứng của B qua đường thẳng t. Với mọi điểm P nằm trên đường thẳng tchúng ta có PB=PK và vì vậy PA+PB=PA+PK≥AK.
Vậy điểm M cần tìm để MA+MB có giá trị nhỏ nhất là giao điểm của AK và đường thẳng t.
Bài toán thứ hai
Bài toán 2: Cho một hình elip có hai tiêu điểm là A và B.
Qua điểm M nằm trên hình elip, vẽ một đường tiếp tuyến với hình elip như hình sau.
Chứng minh rằng xMA=yMB.

Từ bài toán 1, chúng ta giải bài toán 2 một cách dễ dàng. Thậm chí chúng ta không cần dùng công thức của hình elip cũng như không cần biết công thức của đường tiếp tuyến.
Điều
rút ra
Chúng ta thấy rằng, bằng cách suy nghĩ phân tích một bài toán, đôi khi chúng ta phát hiện ra những tính chất thú vị mà không liên quan gì đến bài toán ban đầu.
Ví dụ như bài toán 1 ở trên về tìm khoảng cách ngắn nhất, bằng cách phân tích, chúng ta lại phát hiện ra một tính chất thú vị về đường tiếp tuyến của hình elip.
Bài tập
ứng dụng
thực hành.

1. Cho một góc xOy và hai điểm A và B nằm bên trong góc đó.
Tìm trên tia Ox một điểm X và trên tia Oy một điểm Y sao cho AX+XY+YB là nhỏ nhất.
Bài tập 2
Cho  ABC. Tìm điểm M sao cho MA+MB+MC có giá trị nhỏ nhất.

Ghi chú gợi ý: Nếu chưa quen gải bài này, bạn có thể đọc thêm bài: Điểm Ferma ( cung trên trang violet này)


BS 7 chỉnh lí Phạm Huy Hoạt