15 bài toán có cùng giả thiết

Các bài toán có phần giả thiết giống nhau

CNĐH. Đỗ Quang Minh
GV. THCS Nguyễn Bá Ngọc – An Xuân – Tuy An

Trong học toán cùng với việc tìm nhiều lời giải cho mỗi bài toán trên cơ sở khai thác các kiến thức toán học với nhiều hình thức khác nhau thì việc tổng hợp các bài toán có phần giả thiết giống nhau để hình thành một bài toán có nhiều câu hỏi cũng là một cách không kém phần thú vị trong học toán. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu đến các bạn một bài toán như thế.

Bài toán: Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại M, N, P. Chứng minh rằng:
1)


; 2)


; 3)
;
4)
; 5)
; 6)


;
7) Trong 3 tỉ số
;
;
có một tỉ số không nhỏ hơn 2, một tỉ số không lớn hơn 2.
8)
; 9)
; 10)
;
11)
; 12)
;
13)
;
14) Xác định vị trí của điểm O để
đạt giá trị nhỏ nhất.
15) Gọi a, b, c là độ dài tương ứng với các cạnh BC, CA, BA và da, db, dc tương ứng là các khoảng cách từ O đến các cạnh BC, CA, AB. Xác định vị trí của điểm O để:
a) Tích da.db.dc đạt giá trị lớn nhất.
b) Tổng
đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi S1; S2; S3; S lần lượt là diện tích các tam giác OBC;
OCA; OAB; ABC. Dựng AH
BC (H
BC), OK
BC
(K
BC).
AH // OK.
Áp dụng định lý Ta-let và tỉ số diện tích tam giác,
ta có:
.
Tương tự:
;
.
Cộng các đẳng thức trên theo vế , ta được:


.
Vậy:


.
2)



Theo câu 1, ta có:











.

3)

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski và kết hợp hệ thức 1, ta có
xy + yz + xz)^2 <= (x^2 + y^2 + z^2)(x^2 + y^2 + z^2) 









.
4) Theo câu 3, ta có:





.
5) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski và kết hợp câu 2, ta có:



.
6) Theo câu 5, ta có:







.
7) Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
( Giả sử, trong 3 tỉ số
;
;
đều lớn hơn 2, tức là:

;

;

.
Suy ra:
;
;
.
D o đó:


. vô lí ( trái với BĐT 6 ).
Chứng tỏ có 1 tỉ số không lớn hơn 2.
( Giả sử, trong 3 tỉ số
;
;
đều nhỏ hơn 2, tức là:

;

;

.


, vô lí ( trái với BĐT 4 ).
Chứng tỏ có 1 tỉ số không nhỏ hơn 2.
8) Áp dụng tỉ số diện tích tam giác và bất đẳng thức Cô-si, ta có:





.
Tương tự:
;
.
Nhân từng vế các BĐT trên, ta có:
.
9) Ta có:
(Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số)
Tương tự:
;
.
Nhân từng vế các BĐT trên, ta có:
.

10) Áp dụng BĐT Cô-si và kết hợp câu 2, ta có:







.
11) Áp dụng BĐT Cô-si và kết hợp BĐT 8, ta có:

.
12) Áp dụng BĐT Cô-si và kết hợp BĐT 10, ta có:
.
13) Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski và kết hợp hệ thức 1, ta có:






..
14) Ta có:






Tương tự:
;
.
Suy ra:




.
Vậy: min

Điểm O thuộc ba đường cao của ( ABC

O là trực tâm của tam giác ABC
15) a) Ta có: a.da + b.db + c.dc = 2.S không đổi.
Do đó: tích (a.da ).(b.db ).(c.dc ) lớn nhất
a.da = b.db = c.dc
Mặt khác: (a.da ).(b.db ).(c