13 Bài toán CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN.doc

13 Bài toán CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN
Các bài toán chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn là một dạng toán rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình hình học lớp 9. Các học sinh thường không gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán này
Xin giới thiêu cách giải một số bài toán liên quan tiếp tuyến đường tròn & 8 bài ứng dụng rèn luyên

I.- MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
Phương pháp 1:
Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng (d) bằng bán kính R.
( Phương pháp này thường được dung khi chưa biết giao điểm của (d) và (O) )

(Bài toán 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Ax, By là 2 tia tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ là đt AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho ( COD = 900. Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O).
(Hướng dẩn giải

Vẽ
. Ta chứng minh OH = RO = OB.
Tia CO cắt tia đối của tia By tại E.
Ta có:

Tam giác DEC có DO vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên là tam giác cân. Khi đó DO cũng là đường phân giác.

.
Ta có

( CD là tiếp xúc với (O) tại H.

2. Phương pháp 2:
Nếu biết đường thẳng (d) và (O) có một giao điểm A. ( Ta chỉ cần chứng minh minh
.

(Bài toán 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại D, đường tròn đường kính CH cắt AC tại E. Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung của (I) và (J).
(Hướng dẩn giải
Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính BH ta chứng minh

hay ( DOE = 90o
Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC nên ta có:. (BDH =(CEH = 900
( tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
Gọi O là giao điểm của AH và DE, khi đó ta có OD = OH = OE = OA.
( (ODH cân tại O ((ODH = (OHD
Ta cũng có (IDH cân tại I ((IDH = (IHO.
( có: (IDO +(OHD =(IHD + (IHA = 900 ((IDO = 900 ( ID ( DE
Ta có
( DE tiếp xúc với (I) tại D.
Chứng minh tương tự ta cũng có DE tiếp xúc với (J) tại E.

(Bài toán 3: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ID, IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
(Hướng dẩn giải
Gọi O là trung điểm của AH.
Tam giác ADH vuông tại D có DO là trung tuyến nên ta có:

Tam giác AEH vuông tại E có EO là trung tuyến nên ta có:
.
( OA = OD = OE, do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

Tam giác OAD cân tại O) ((ODA = (OAD (1)
(BDC vuông tại D có DI là trung tuyến (
, ( tam giác ICD cân tại I,
( ( IDC = (DIC (2)
H là giao điểm hai đường cao BD và CE
( H là trực tâm của (ABC,
(
tại F.
Khi đó (
(2)
Từ (1) , (2) và (3) ta có
(ODA + (IDC = (OAD +(ICD = 900
Ta có
( ID tiếp xúc với (O) tại D.
Chứng minh tương tự ta cũng có IE tiếp xúc với (O) tại E. (DPCM)


3. Phương pháp 3: Phương pháp trùng khít
Để chứng minh một đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (O) ta dựng đường thẳng (d’) là tiếp tuyến của (O) sau đó chứng minh (d) và (d’) trùng nhau. Do đó (d) là tiếp tuyến của (O).
(Bài toán 4: (Ta chứng minh bài 1 với phương pháp này.)
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Ax, By là 2 tia tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ là đt AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho ( COD = 900. Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O).

(Hướng dẩn giải
Từ C vẽ tiếp tuyến CD’ của đường tròn (O) (D’ thuộc By)