120 Đề thi Đại học môn Toán

§Ò sè 1
C©u1: (3,25 ®iÓm)
Cho hµm sè: y = x3 - 2mx2 + (2m2 - 1)x + m(1 - m2) (Cm)
1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m = 0.
2) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ®å thÞ (Cm) cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu. Khi ®ã h·y viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu.
3) T×m m ®Ó (Cm) c¾t Ox t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é lín h¬n 0.
4) T×m m ®Ó (Cm) c¾t Ox t¹i ba ®iÓm cã hoµnh ®é lËp thµnh cÊp sè céng.
C©u2: (2 ®iÓm)
1) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh:

2) T×m m ®Ó
< 0 víi (x
C©u3: (2 ®iÓm)
1) Cho hai ph­¬ng tr×nh: 2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x
4cos2x - cos3x = (a - 1)cosx -
(1 + cos2x)
T×m a ®Ó hai ph­¬ng tr×nh trªn t­¬ng ®­¬ng.
2) Chøng minh r»ng víi (x > 0, ta ®Òu cã:

C©u4: (0,75 ®iÓm)
TÝnh hÖ sè cña sè h¹ng chøa x25 trong khai triÓn

C©u5: (2 ®iÓm)
1) Cho hai ®iÓm P(2; 5) vµ Q(5; 1). LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua P sao cho kho¶ng c¸ch tõ Q tíi ®­êng th¼ng ®ã b»ng 3.
2) TÝnh chiÒu dµi ®­êng cao h¹ tõ ®Ønh A cña tø diÖn cã bèn ®Ønh lµ A(2; 3; 1), B(4 ; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8).
§Ò sè 2
C©u1: (2 ®iÓm)
C©u Cho hµm sè: y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10 (1)
1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1) khi m = 1.
2) T×m m ®Ó hµm sè (1) cã ba ®iÓm cùc trÞ.
C©u2: (3 ®iÓm)
1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: sin23x - cos24x = sin25x - cos26x
2) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: logx(log3(9x - 72)) ( 1
3) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:

C©u3: (1,25 ®iÓm)
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: y =

C©u4: (2,5 ®iÓm)
1) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã t©m I
, ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB lµ x - 2y + 2 = 0 vµ AB = 2AD. T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh A, B, C, D biÕt r»ng ®Ønh A cã hoµnh ®é ©m
2) Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A1B1C1D1 cã c¹nh b»ng a
a) TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng A1B vµ B1D.
b) Gäi M, N, P lÇn l­ît lµ c¸c trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BB1, CD1, A1D1. TÝnh gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng MP vµ C1N.
C©u5: (1,25 ®iÓm)
Cho ®a gi¸c ®Òu A1A2...A2n (n ( 2, n ( Z) néi tiÕp ®­êng trßn (O). BiÕt r»ng sè tam gi¸c cã c¸c ®Ønh lµ 3 ®iÓm trong 2n ®iÓm A1, A2, ... ,A2n nhiÒu gÊp 20 lÇn sè h×nh ch÷ nhËt cã c¸c ®Ønh lµ 4 ®iÓm trong 2n ®iÓm A1, A2, ... ,A2n . T×m n.




§Ò sè 3
C©u1: (3 ®iÓm)
Cho hµm sè: y =
(1) (m lµ tham sè)
1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè (1) øng víi m = -1.
2) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®­êng cong (C) vµ hai trôc to¹ ®é.
3) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè (1) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng y = x.
C©u2: (2 ®iÓm)
1) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: (x2 - 3x)
.
2) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:

C©u3: (1 ®iÓm)
T×m x ( [0;14] nghiÖm ®óng ph­¬ng tr×nh: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 .
C©u4: (2 ®iÓm)
1) Cho h×nh tø diÖn ABCD cã c¹nh AD vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC); AC = AD = 4 cm ; AB = 3 cm; BC = 5 cm. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A tíi mÆt ph¼ng (BCD).
2) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz, cho mÆt ph¼ng
(P): 2x - y + 2 = 0 vµ ®­êng th¼ng dm:

X¸c ®Þnh m ®Ó ®­êng th¼ng dm song song víi mÆt ph¼ng (P) .
C©u5: (2 ®iÓm)
1) T×m sè nguyªn d­¬ng n sao cho:
.
2) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc Oxy cho ElÝp (E) cã ph­¬ng tr×nh:
. XÐt ®iÓm M chuyÓn ®éng trªn tia Ox vµ ®iÓm N chuyÓn ®éng trªn tia Oy sao cho ®­êng th¼ng MN lu«n tiÕp xóc víi (E). X¸c ®Þnh to¹ ®é cña M, N ®Ó ®o¹n MN cã ®é dµi nhá nhÊt. TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã.
§Ò sè 4
C©u1: (2 ®iÓm)
Cho hµm sè: y =

1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè.
2) T×m trªn ®­êng th¼ng y = 4 c¸c ®iÓm mµ tõ ®ã kÎ ®­îc ®óng 2 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ hµm sè.
C©u2: (2 ®iÓm)
1) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:

2) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh:

C©u3: (2 ®iÓm)
1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: cosx+ cos2x + cos3x + cos4x + cos5x = -

2) Chøng minh r»ng (ABC tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

th× (ABC ®Òu
C©u4: (2 ®iÓm)
1) Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é cho A(1, 0); B(0, 2); O(0, 0) vµ ®­êng trßn (C) cã ph­¬ng tr×nh: (x - 1)2 +
= 1. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua c¸c giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng (C) vµ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp (OAB.
2) Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n víi AB = AC = a, SA = a, SA vu«ng gãc víi ®¸y. M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh SB, N trªn c¹nh SC sao cho MN song song víi BC vµ AN vu«ng gãc víi CM. T×m tû sè
.
C©u5: (2 ®iÓm)
1) TÝnh diÖn tÝch phÇn mÆt ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng cong: y = x3 - 2 vµ (y + 2)2 = x.
2) Víi c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau, biÕt r»ng c¸c sè nµy chia hÕt cho 3.
§Ò sè 5
C©u1: (2 ®iÓm)
Cho hµm sè: y = x + 1 +
.
1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) hµm sè.
2) Tõ mét ®iÓm trªn ®­êng th¼ng x = 1 viÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C).
C©u2: (2 ®iÓm)
1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

2) T×m c¸c gi¸ trÞ x, y nguyªn tho¶ m·n:

C©u3: (2 ®iÓm)
1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (cos2x - 1)(sin2x + cosx + sinx) = sin22x
2) (ABC cã AD lµ ph©n gi¸c trong cña gãc A (D ( BC) vµ sinBsinC (
. H·y chøng minh AD2 ( BD.CD .
C©u4: (2 ®iÓm)
1) Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxy, cho elip cã ph­¬ng tr×nh: 4x2 + 3y2 - 12 = 0. T×m ®iÓm trªn elip sao cho tiÕp tuyÕn cña elip t¹i ®iÓm ®ã cïng víi c¸c trôc to¹ ®é t¹o thµnh tam gi¸c cã diÖn tÝch nhá nhÊt.
2) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz, cho hai mÆt ph¼ng (P): x - y + z + 5 = 0 vµ (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m thuéc mÆt ph¼ng (P) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (Q) t¹i M(1; - 1; -1).
C©u5: (2 ®iÓm)
1) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: y = 2 -
vµ x + 2y = 0
2) §a thøc P(x) = (1 + x + x2)10 ®­îc viÕt l¹i d­íi d¹ng: P(x) = a0 + a1x + ... + a20x20. T×m hÖ sè a4 cña x4.




§Ò sè 6
C©u1: (2 ®iÓm)
Cho hµm sè: y =
(1) (m lµ tham sè)
1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1) khi m = -1.
2) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) c¾t trôc hoµnh t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt vµ hai ®iÓm ®ã cã hoµnh ®é d­¬ng.
C©u2: (2 ®iÓm)
1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: cotgx - 1 =
+ sin2x -
sin2x
2) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:

C©u3: (3 ®iÓm)
1) Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A`B`C`D`. TÝnh sè ®o cña gãc ph¼ng nhÞ diÖn [B, A`C, D].
2) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c Oxyz cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A`B`C`D` cã A trïng víi gèc cña hÖ to¹ ®é, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A`(0; 0; b) (a > 0, b > 0). Gäi M lµ trung ®iÓm c¹nh CC`.
a) TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn BDA`M theo a vµ b.
b) X¸c ®Þnh tû sè
®Ó hai mÆt ph¼ng (A`BD) vµ (MBD) vu«ng gãc víi nhau.
C©u4: (2 ®iÓm)
1) T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x8 trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña:

, biÕt r»ng:
(n ( N*, x > 0)
2) TÝnh tÝch ph©n: I =

C©u5: (1 ®iÓm)
Cho x, y, z lµ ba sè d­¬ng vµ x + y + z ( 1. Chøng minh r»ng:


§Ò sè 7
C©u1: (2 ®iÓm)
Cho hµm sè: y = x3 - 3x2 + m (1)
1) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) cã hai ®iÓm ph©n biÖt ®èi xøng víi nhau qua gèc to¹ ®é.
2) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1) khi m = 2 .
C©u2: (2 ®iÓm)
1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: cotgx - tgx + 4sin2x =

2) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:

C©u3: (3 ®iÓm)
1) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é §ªc¸c vu«ng gãc Oxy cho (ABC cã: AB = AC,
= 900. BiÕt M(1; -1) lµ trung ®iÓm c¹nh BC vµ G
lµ träng t©m (ABC. T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh A, B, C .
2) Cho h×nh l¨ng trô ®øng ABCD.A`B`C`D` cã ®¸y ABCD lµ mét h×nh thoi c¹nh a, gãc
= 600 . gäi M lµ trung ®iÓm c¹nh AA` vµ N lµ trung ®iÓm c¹nh CC`. Chøng minh r»ng bèn ®iÓm B`, M, D, N cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. H·y tÝnh ®é dµi c¹nh AA` theo a ®Ó tø gi¸c B`MDN lµ h×nh vu«ng.
3) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c Oxyz cho hai ®iÓm A(2; 0; 0) B(0; 0; 8) vµ ®iÓm C sao cho
. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ trung ®iÓm I cña BC ®Õn ®­êng th¼ng OA.
C©u4: (2 ®iÓm)
1) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè: y = x +

2) TÝnh tÝch ph©n: I =

C©u5: (1 ®iÓm)
Cho n lµ sè nguyªn d­¬ng. TÝnh tæng:


(
lµ sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö)
§Ò sè 8
C©u1: (2 ®iÓm)
1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè: y =
(1)
2) T×m m ®Ó ®­êng th¼ng dm: y = mx + 2 - 2m c¾t ®å thÞ cña hµm sè (1) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.
C©u2: (2 ®iÓm)
1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

2) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

C©u3: (3 ®iÓm)
1) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é trùc §ªc¸c vu«ng gãc Oxy cho ®­êng trßn:
(C): (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4 vµ ®­êng th¼ng d: x - y - 1 = 0
ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn (C`) ®èi xøng víi ®­êng trßn (C) qua ®­êng th¼ng d. T×m täa ®é c¸c giao ®iÓm cña (C) vµ (C`).
2) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz cho ®­êng th¼ng:
dk:

T×m k ®Ó ®­êng th¼ng dk vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P): x - y - 2z + 5 = 0.
3) Cho hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) vu«ng gãc víi nhau, cã giao tuyÕn lµ ®­êng th¼ng (. Trªn ( lÊy hai ®iÓm A, B víi AB = a. Trong mÆt ph¼ng (P) lÊy ®iÓm C, trong mÆt ph¼ng (Q) lÊy ®iÓm D sao cho AC, BD cïng vu«ng gãc víi ( vµ AC = BD = AB. TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn mÆt ph¼ng (BCD) theo a.
C©u4: (2 ®iÓm)
1) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: y =

trªn ®o¹n [-1; 2]
2) TÝnh tÝch ph©n: I =

C©u5: (1 ®iÓm)
Víi n lµ sè nguyªn d­¬ng, gäi a3n - 3 lµ hÖ sè cña x3n - 3 trong khai triÓn thµnh ®a thøc cña (x2 + 1)n(x + 2)n. T×m n ®Ó a3n - 3 = 26n.
§Ò sè 9
C©u1: (2 ®iÓm)
Cho hµm sè: y =
(1)
1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1).
2) T×m m ®Ó ®­êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ hµm sè (1) t¹i hai ®iÓm A, B sao cho AB = 1.
C©u2: (2 ®iÓm)
1) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh:

2) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:

C©u3: (3 ®iÓm)
1) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é §Òcac Oxy cho ®iÓm A(0; 2) vµ B
. T×m to¹ ®é trùc t©m vµ to¹ ®é t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp (OAB.
2) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c Oxyz cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi, AC c¾t BD t¹i gèc to¹ ®é O. BiÕt A(2; 0; 0) B(0; 1; 0) S(0; 0; 2
). Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh SC.
a) TÝnh gãc vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng SA vµ BM.
b) Gi¶ sö mÆt ph¼ng (ABM) c¾t SD t¹i N. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABMN.
C©u4: (2 ®iÓm)
1) TÝnh tÝch ph©