12 ứng dụng sai phân giải toán

SAI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG GIẢI TOÁN

Ngày 11/3/2010, trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia lớp 12 môn toán có câu số 2(5 điểm/20 điểm; Đề có 5 câu):
“Cho dãy số thực
xác định bởi :
và
với mọi n
.
1/ Tìm số hạng tổng quát của dãy số
.
2/ Chứng minh rằng
là dãy số giảm.”
Căn cứ vào dạng công thức dãy đã cho và câu hỏi 1/ cũng có thể nghĩ ngay đến là sử dụng phương pháp sai phân.
Cụ thể là:
+) Dễ chứng tỏ

+) Từ giả thiết ta có:

.
Áp dụng phương pháp sai phân ( Lấy tổng hai vế của đẳng thức trên,
) ta có:
.
Hay

.
Như vậy là dùng phương pháp sai phân ta đã tìm được số hạng tổng quát của dãy số.
( Việc chứng minh dãy giảm là đơn giản:
Điều cần chứng minh tương đương với:


Ta có: 1<
<
suy ra:

.
Bất đẳng thức (*) được chứng minh).

Ngày 21/3/2010 trong kỳ thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 tỉnh Hải Dương cũng có bài toán sử dụng phương pháp sai phân :
“ Cho dãy số
thỏa mãn:

Xét dãy số
. Chứng minh dãy số
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó”.
Nhìn vào câu hỏi cũng có thể nghĩ đến phải dùng phương pháp sai phân cho dãy số
.
Cụ thể là:
+) Dễ chứng minh dãy số tăng.
+) Từ giả thiết suy ra:
( n = 1, 2 …)



với n = 1, 2, …
Áp dụng phương pháp sai phân, ta có:



(1)
Mặt khác: 1 = u1 < u2 < … < un < un + 1…
Nếu {un} bị chặn trên => tồn tại giới hạn hữu hạn a =
; a>1
Vì un+1 =
, chuyển qua giới hạn, ta có:

=> a = 0 trái với a>1
Suy ra dãy không bị chặn trên; vì {un} dăy tăng, nên ta có

= +(
Kết hợp với (1) =>
hay


Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 năm 2010 của tỉnh Nghệ An cũng có bài:
Cho dãy số
thỏa mãn
. Tính
, với
.
Cũng có thể dùng phương pháp sai phân vào đây:
Đặt
; khi đó giả thiết đã cho có dạng:

Từ (*) suy ra

Hay

. Nếu để nguyên như vậy sẽ khó tìm được vn .
Ta có thể làm như sau:
(**)
Đây là ý đơn giản nhưng quan trọng để ta có thể sai phân, cụ thể là (**) suy ra dãy
là dãy số không đổi. Từ đó
. Hay
(
). Suy ra
.
Đến đây thì thật đơn giản, lim
.

Vấn đề sai phân và ứng dụng của sai phân giải toán dãy số cũng như giải toán nói chung đã được nhiều người quan tâm, cho dù mức độ cũng như dạng loại cũng có phần khác nhau. Người viết bài này đã để tâm sưu tầm, tìm tòi và nghiên cứu khá sâu về sai phân, nay – qua quan sát các đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 cấp Tỉnh, cấp Quốc gia vừa diễn ra trong thời gian qua, thấy tầm quan trọng của phương pháp sai phân, nên xin được trao đổi tại đây; Mong góp phần nhỏ bé vào việc đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi của tỉnh nhà.












LỜI NÓI ĐẦU:
Một trong các dạng toán hay và khó trong chương trình phổ thông trung học là toán về dãy số , trong đó Sai phân và ứng dụng của sai phân là phần rất quan trọng nó không những góp phần giải quyết các bài toán dãy số mà còn giúp giải một số bài toán khác như: phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức...Về bản chất sai phân là tìm cách tách một số hạng của dãy số đã cho thành hiệu (hay tổng quát hơn là tổng đại số) của hai hay ba số hạng liên tiếp của dãy số khác. Trong sách giáo khoa gần như không đề cập vấn đề này, nhưng trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp vấn đề này thường hay được đề cập đến. Các sách tham khảo hiện có một số bài toán có sử dụng phương pháp sai phân nhưng không phân tích chặt chẽ, không có hệ thống lý thuyết làm người đọc khó vận dụng. Xuất phát từ mục đích để giảng dạy cho các học sinh giỏi và trao đổi với đồng nghiệp về lĩnh vực nói trên, nhưng phải phù hợp với học sinh phổ thông(khá, giỏi) tôi đã nghiên cứu kỹ lưỡng dạng và cách giải của từng loại bài, trình bày lại thông qua các