100 hình học chuẩn

MỘT TRĂM
BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9





Bài 1:
Cho (ABC có các đường cao BD và CE. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N.
Chứng minh:BEDC nội tiếp.
Chứng minh:
.
Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: OA là phân giác của góc
.
Chứng tỏ: AM2=AE. AB.

Gợi ý:

1.C/m BEDC nội tiếp:
C/m:
= 1v. Hai điểm D và E
cùng nhìn đoạn thẳng BC một góc vuông.

2.C/m:
.
Do BECD nội tiếp (
= 2v.Mà
= 2v (


3. Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là đường thẳng xy (Hình 1)
Ta phải c/m xy//DE.
Do xy là tiếp tuyến,AB là dây cung nên sđ
.
Mà
. (
mà
(cmt)
(
hay xy // DE.

4. C/m OA là phân giác của
.
Do xy//DE hay xy//MN mà OA(xy(OA(MN. (OA là đường trung trực của MN. (Đường kính vuông góc với một dây) ( (AMN cân ở A ( AO là phân giác của
.

5. C/m :AM2=AE. AB.
Do (AMN cân ở A (AM=AN (
. (
(Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);
chung
( (MAE
( BAM (
( MA2 = AE. AB.

Bài 2:
Cho(O) đường kính AC. trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I.
1. Tứ giác ADBE là hình gì?
2. C/m DMBI nội tiếp.
3. C/m B;I;E thẳng hàng và MI=MD.
4. C/m MC. DB=MI. DC
5. C/m MI là tiếp tuyến của (O’)

Gợi ý:
1. Do MA=MB và AB(DE tại M nên ta có
DM=ME ( ADBE là hình bình hành.
Mà BD=BE(AB là đường trung trực của DE)
Vậy ADBE là hình thoi.

2. C/m DMBI nội tiếp.
BC là đường kính,I((O’) nên
=1v.
Mà
=1v (gt) (
=2v ( đpcm


3. C/m B;I;E thẳng hàng.
Do AEBD là hình thoi ( BE//AD mà AD ( DC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ( BE ( DC; CM ( DE (gt). Do
= 1v ( BI ( DC. Qua 1 điểm B có hai đường thẳng BI và BE cùng vuông góc với DC nªn BI
BE hay B;I;E thẳng hàng.
* Chứng minh: MI = MD: Do M là trung điểm DE; (EID vuông ở I ( MI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông DEI ( MI=MD.
4. C/m MC. DB=MI. DC.
Hãy chứng minh (MCI
(DCB (
chung;
cùng chắn cung MI do DMBI nội tiếp)
5. C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
-Ta có ( O’IC cân ở O` (
.
( BDI cân ở M (
.
Từ đó suy ra:
= 1v
Vậy MI (O’I tại I nằm trên đường tròn (O’) ( MI là tiếp tuyến của (O’).


Bài 3:
Cho (ABC có
=1v. Trên AC lấy điểm M sao cho AM < MC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM cắt BC tại E;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S.
C/m BADC nội tiếp.
BC cắt (O) ở E. Cmr:MD là phân giác của
.
C/m CA là phân giác của góc BCS.
Gợi ý:

1.C/m ABCD nội tiếp:
CM: A và D cùng nhìn đoạn thẳng BC một góc vuông..

2.C/m ME là phân giác của góc
.
- Hãy c/m: AMEB nội tiếp.

=
(cùng chắn cung AM)

=
(cùng chắn cung MD)

=
(cùng chắn cung MD)
(
=

đpcm.

4. C/m CA là phân giác của góc BCS.

=
(cùng chắn cung AB)

=
(cùng bù với
)
Vậy
=
( đpcm.

Bài 4:
Cho (ABC có
= 1v. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM > MC. Dựng đường tròn tâm O đường kính MC; đường tròn này cắt BC tại E. Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S.
C/m ADCB nội tiếp.
C/m ME là phân giác của góc AED.
C/m:
=
.
Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED.
C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy.

Gợi ý:

1.C/m ADCB nội tiếp:
Hãy chứng minh:
=
= 1v
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

= 1V (gt). Từ đó suy ra A và D
cùng nhìn đoạn thẳng BC
một góc vuông)
Nên hai điểm A và D
cùng nằm trên đường
tròn đường kính BC hay ABCD nội tiếp)

2.C/m EM là phân giác của góc AED.


Nên tứ giác AMEB nội tiếp nên
(1) (cùng chắn cung AM)
Do tứ giác ABCD nội tiếp nên
(2) (cùng chắn cung AD)
Do tứ giác MECD nội tiếp nên
(3) (cùng chắn cung MD)
Từ (1); (2); (3) ta có
. Nên EM là phân giác của góc AED

3. C/m:
=
. (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MD

4. C/m ME là phân giác của góc AED (Chứng minh như câu 2 bài 3)

5. Chứng minh AB;ME;CD đồng quy.
Gọi giao điểm AB;CD là K. Ta cần chứng minh 3 điểm K;M;E thẳng hàng.
Do CA ( AB (gt)
BD ( DC (cm trên) và AC cắt BD ở M ( M là trực tâm của
KBC nên KM là đường cao thứ 3
KM ( BC.
Mà ME ( BC (cmt)

nên K;M;E thẳng hàng ( đpcm.

Bài 5:
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ đường cao AD và đường kính AA’. Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’.
C/m AEDB nội tiếp.
C/m DB. A’A=AD. A’C
C/m:DE ( AC.
Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh MD = ME = MF.

Gợi ý:

1. C/m AEDB nội tiếp.
(Sử dụng hai điểm D;E cùng nhìn đoạn AB…)

2. C/m: DB. A’A = AD.A’C .
Chứng minh được
DBA

A’CA .

3. C/m: DE ( AC.
Ta cần chứng minh DE // CA`
Do ABDE nội tiếp nên góc
=
(Cùng bù với góc BDE).
Mà
=
(cùng chắn cung BA’) suy ra
=
. Suy ra DE//A’C. Mà A`C ( AC nên DE ( AC.

4. C/m: MD = ME = MF.
- Gọi N là trung điểm AB. Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE. Do M;N là trung điểm BC và AB ( MN // AC (Tính chất đường trung bình)
Do DE ( AC ( MN ( DE (Đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm) ( MN là đường trung trực của DE ( ME = MD.
- Gọi I là trung điểm EC nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EPCF
( MI // EB (Tính chất đường trung bình) Mà BE ( AA` ( MI ( EF
( MI là đường trung trực của EF ( ME = MF.
Vậy MD = ME = MF.

Bài 6:
Cho (ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC. P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE.
1 . C/m MFEC nội tiếp.
2 . C/m BM. EF=BA. EM
3. C/M (AMP
(FMQ.
4 . C/m
= 90o.

Gợi ý

1. C/m MFEC nội tiếp:
(Sử dụng hai điểm E;F cung nhìn đoạn thẳng CM…)

2. C/m BM.EF = BA.EM
(C/m:(EFM
(ABM:
Ta có góc
=
(Vì cùng chắn cung AM)
Do MFEC nội tiếp nên
=
(Cùng chắn cung FM).
(
=
(1)
Ta lại có góc
=
(Cùng chắn cung AB).
Do MFEC nội tiếp nên góc
(Cùng chắn cung FE) (
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :(EFM
(ABM (g - g) ( đpcm.

3. C/m (AMP
(FMQ.
Ta có (EFM
(ABM (theo c/m trên) (
mà AM=2AP;FE=2FQ (gt) (
và
(suy ra từ (EFM
(ABM)
Vậy: (AMP
(FMQ (c - g - c)

4. C/m
= 90o.
Do
(
( (PQM
(AFM (

Mà góc
= 1v (
=1v (đpcm).

Bài 7:
Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD. Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G.
C/m BGDC nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn này.
C/m (BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp (BCD.
C/m GEFB nội tiếp.
Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp (BCD. Có nhận xét gì về I và F

Gợi ý

1. C/m BGDC nội tiếp:
Sử dụng tổng hai góc đối bằng 1800
I là trung điểm GC.

2. C/m: (BFC vuông cân:

(Cùng chắn cung BF)
mà
= 45o (T/C đường chéo hình vuông)
(
= 45o.
= 1v
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ( đpcm.

* C/m: F là tâm đường tròn ngoại tiếp (BDC.
Ta C/m F cách đều các đỉnh B;C;D
Do (BFC vuông cân nên BC = FC.
Xét hai tam giác FEB và FED có:E F chung;
Góc
=
= 45o; BE=ED (hai cạnh của hình vuông ABED)
( (BFE = (E FD (c - g - c) ( BF = FD ( BF = FC = FD ( đpcm.

3. C/m: GEFB nội tiếp:
Do (BFC vuông cân ở F (
= sđ
= 90o ( sđ
=
sđ
=
.90o = 450
(Góc giữa tiếp tuyến BG và dây BF)
Mà
= 45o (tính chất hình vuông) (
= 45o. Ta lại có
= 2v (
= 2v ( GEFB nội tiếp.

4 . C/m: C;F;G thẳng hàng:
Do GEFB nội tiếp (
mà
= 1v (
= 1v.
Do (BFG vuông cân ở (
= 1v (
= 2v ( G;F;C thẳng hàng.
C/m: G cùng nằm trên đường tròn tròn ngoại tiếp (BCD. Do
= 1v
( tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BGDC là F ( G nằm trên đường tròn ngoại tiếp (BCD.
* Dễ dàng c/m được I ( F.

Bài 8:
Cho (ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC).
C/m: BDCO nội tiếp.
C/m: DC2 = DE. DF.
C/m: DOIC nội tiếp.
Chứng tỏ I là trung điểm FE.

Gợi ý

1. C/m: BDCO nội tiếp (Dùng tổng hai góc đối)

2. C/m: DC2 = DE.DF.
Xét hai tam giác:DEC và DCF có
chung.

(Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung cùng chắn một cung) ( (DCE
(DFC ( đpcm.

3. C/m: DOIC nội tiếp:

(TC hai tiếp tuyến cắt nhau)

(Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung).Nên
.

(So le trong vì DF//AB). Do đó

( Hai điểm O và I cùng nhìn đoạn thẳng DC những góc bằng nhau ( đpcm

4. Chứng tỏ I là trung điểm EF:
Do DOIC nội tiếp (
(cùng chắn cung OD)
Mà Góc
= 1v (tính chất tiếp tuyến)(
= 1v hay OI ( ID ( OI ( FE. Bán kính OI vuông góc với dây cung EF ( I là trung điểm EF.

Bài 9:
Cho (O),dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(M(A và M(B),kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN.
C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường tròn.
C/m:NQ. NA=NH. NM
C/m MN là phân giác của góc BMQ.
Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB để MQ. AN+MP. BN có giác trị lớn nhấ

Gợi ý
Có 2 hình vẽ,cách c/m tương tự. Sau đây chỉ C/m trên hình 9-a.












1. C/m: A,Q,H,M cùng nằm trên một đường tròn.
(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng một trong các phương pháp sau:
-Cùng nhìn đoạn thẳng một góc vuông.
-Tổng hai góc đối.

2. C/m: NQ. NA = NH. NM.
Chứng minh: (NQM
(NAH.

3. C/m MN là phân giác của góc BMQ.
Có hai cách:
Cách 1:Gọi giao điểm MQ và AB là I. C/m tam giác MIB cân ở M
Cách 2:
(Cùng phụ với góc
)

(Cùng chắn cung NB) ( đpcm

4. xác định vị trí của M trê