01233

PHÒNG GD- Đ T PHÙ MỸ
TRƯỜNG THCS TT PHÙ MỸ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học: 2012-2013.
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút.



Câu 1(3,0đ)
Chứng minh rằng :


Câu 2: (3,0đ)
Cho hàm số f(x) thỏa mãn : 2.f(x) – x . f (-x) = x + 10 với mọi giá trị của x .
Tính f (2)
Câu 3: (3,0đ)
Chứng minh rằng:
là một số tự nhiên.
Câu 4: (3,0đ)
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74
Câu 5: (3,0đ)
Cho
. Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất.
Câu 6: (5,0đ)
Tam giác ABC có AB > AC .Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB,AC lần lượt tại E và F .
Chứng minh rằng a/ BE = CF
b/ AE =

c/
=













PHÒNG GD- ĐT PHÙ MỸ HƯỚNG DẪN CHẤM
TRƯỜNG THCS TT PHÙ MỸ ĐỀ THI HSG LỚP 7
Năm học 2012 – 2013 - Môn : Toán

Câu
Nội dung
Điểm

1
(3điểm)
Đặt : A =

Ta có :A <

=

=




1,0đ

1,0đ

1,0đ


2
(3 điểm)
ta có :
2 . f(2) – 2 . f(-2) = 12
2 .f(-2) + 2 . f(2) = 8
Suy ra : 4 .f(2) = 20

f(2) = 5


1,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ


3
(3 điểm)
Để
là số tự nhiên ( 102006 + 53
9
Để 102006 + 53
9 ( 102006 + 53 có tổng các chữ số chia hết cho 9
mà 102006 + 53 = 1+ 0 +0 +.........+ 0 + 5+3 = 9
9
102006 + 53
9 hay
là số tự nhiên
1,0đ

1,0đ

0,5đ

0,5đ

4
(3 điểm)
Từ 6x2 + 5y2 = 74 => 6x2
74 => x2


mà x nguyên => x2


Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2
5 => x2 = 4 hoặc x2 = 9
Nếu x2 = 4 => y2 = 10 (loại vì y nguyên)
Nếu x2 = 9 => y2 = 4 => (x, y)



0,5đ

0,5đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ

5
(3 điểm)

lớn nhất khi và chỉ khi
nhỏ nhất
Vì

Vì vậy
đạt giá trị nhỏ nhất khi bằng 3
Dấu bằng xảy ra khi

vậy B lớn nhất
và


0,5đ
0,5đ

0,5đ
0,5đ

1,0đ

6
(5 điểm)

Vẽ hình đúng


a/ Kẻ CD // AB
Xét
và
ta có

(slt)
BM = CM(gt)

(đ đ)

=
(g-c-g) =>BE=CD (cặp góc tương ứng
*
có AH vừa là đường phân giác vừa là đường cao ,
nên
cân tại A
(1)
Mà
(đồng vị, AB//CD) (2)
Từ (1) và (2) suy ra

Do đó
cân tại C => CF = CD
Mà CD = BE
=> CF = BE
b/ Ta có AE = AB - BE
Mà AE = AF= AC+CF
=> 2AE=AB+AC
=> AE=

Tương tự : BE = AB – AE
CF = AF –AC
2BE = AB-AC => BE =

c/ Ta có :

(góc ngoài
)

( góc ngoài của
)



 1,0đ












0,5đ




0,5đ







1,0đ



1,0đ





0,5đ